Übungsblatt 1

Algebra II
SS 2012
Übungsblatt 1
Prof. Dr. Ulrich Görtz
Dr. Christian Kappen
Übungsblatt 1
Unter einem Ring verstehen wir im folgenden stets einen kommutativen Ring mit 1.
Aufgabe 1
Sei R ein Ring.
a) Zeigen Sie, dass ein Element x ∈ R genau dann in jedem maximalen Ideal von R enthalten ist,
wenn 1 − xy für jedes y ∈ R invertierbar ist. (Hinweis: Sie dürfen verwenden, dass jedes Ideal
I ( R in einem maximalen Ideal von R enthalten ist.)
b) Der Ring R heißt lokal, falls er genau ein maximales Ideal besitzt. Zeigen Sie: Ist m ( R ein Ideal,
so ist R genau dann lokal mit maximalem Ideal m, wenn jedes Element in R \ m invertierbar ist.
Aufgabe 2
Sei R ein Ring mit der Eigenschaft, dass zu jedem x ∈ R ein n ∈ N>1 existiert, derart dass xn = x
gilt. Zeigen Sie, dass jedes Primideal von R bereits maximal ist.
Aufgabe 3
Zeigen Sie, dass die folgenden Ringe lokal sind, vgl. Aufgabe 1 b) auf diesem Übungsblatt, und
bestimmen Sie jeweils das maximale Ideal. (Hinweis: Nutzen Sie die Tatsache, dass Quotienten
modulo maximaler Ideale Körper sind.)
a) K[T ]/(T n+1 ), mit n ∈ N und einem Körper K
b) Z/pn+1 Z, mit n ∈ N und einer Primzahl p
Aufgabe 4
Wir wollen illustrieren, wie sogenannte Ringe ganzer algebraischer Zahlen zur Lösung zahlentheoretischer Probleme eingesetzt werden können. Hierfür betrachten wir den Ring
Z[i] = {x + iy ; x, y ∈ Z} ⊆ C
der ganzen Gaußschen Zahlen. Folgende in der Algebra I bewiesene Tatsachen wollen wir als bekannt
voraussetzen:
1. Der Ring Z[i] ist faktoriell.
2. Ist p eine Primzahl, so gilt (p − 1)! ≡ −1 mod p (Satz von Wilson).
Zeigen Sie unter Verwendung dieser Tatsachen, dass eine ungerade Primzahl p genau dann als
Summe von zwei Quadraten geschrieben werden kann (p = a2 + b2 mit a, b ∈ Z), wenn p ≡ 1 mod 4
gilt. Für die nichttriviale Implikation "⇐"können Sie wie folgt vorgehen:
Sei n ∈ N, derart dass p := 4n + 1 prim ist, und sei x = (2n)!.
a) Zeigen Sie mit Hilfe des Satzes von Wilson die Relation p|x2 + 1, und folgern Sie, dass p in Z[i]
nicht prim ist.
b) Schließen Sie, dass Nichteinheiten α, β ∈ Z[i] existieren mit p = α · β.
c) Folgern Sie aus der resultierenden Gleichung p2 = |α|2 |β|2 , dass p = |α|2 = |β|2 gilt, wobei
| · | den gewöhnlichen Betrag auf C bezeichne. Beachten Sie hierzu, dass |z|2 ∈ N gilt für alle
z ∈ Z[i] und dass von Null verschiedene Nichteinheiten in Z[i] stets Betrag > 1 besitzen.
d) Folgern Sie nun die zu beweisende Aussage.
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