kq-vp-ha3 - HTW Saar

Vl. Statistische Prozess- und Qualitätskontrolle und Versuchsplanung
Übung 3: Diskrete Verteilungen
Prof. Dr. B. Grabowski
Zur Lösung der folgenden Aufgaben können Sie auch die beigefügte Tabelle
der diskreten Verteilungen im Anhang 1 verwenden.
Aufgabe 1
In der Vorlesung haben Sie folgende diskrete Verteilungen kennen gelernt:
Zweipunktverteilung, Diskrete Gleichverteilung, Geometrische Verteilung, Binomialverteilung
Geben Sie an, welche der 4 Verteilungen (mit den zugehörigen Verteilungs-Parametern) die
Zufallsgröße X in folgenden Experimenten besitzt:
a)
X = Anzahl der Würfelversuche bis zum Würfeln einer 6
b) X = Anzahl der Sechsen beim viermaligen Würfeln
c) X = Augenzahl beim einmaligen Würfeln
Hinweis: Überlegen Sie sich zunächst, wie das entsprechende Versuchsschema in a), b) bzw. c)
aussieht . Entscheiden Sie dann auf dieser Basis, welche Verteilung X besitzt.
Aufgabe 2
In einem großen Los von N = 100 Teilen sind 5% Ausschuss. Bei einer Qualitätskontrolle werden der
Reihe nach Teile aus dem Los gezogen und geprüft, wobei das gezogene Teil nach jeder Ziehung
wieder in das Los zurückgelegt wird (ziehen mit Zurücklegen, die Grundgesamtheit ändert sich von
einer zur nächsten Ziehung nicht).
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür,
a) dass bei einer Ziehung ein Ausschussteil gezogen wird
b) dass beim Ziehen einer Stichprobe vom Umfang n= 4, mindestens ein Ausschussteil gezogen
wurde
c) erst in der 30. Ziehung ein Ausschussteil gezogen wurde
Hinweis: Überlegen Sie sich zunächst, um welche Zufallsgröße X es in a), b) bzw. c) geht und wie
das entsprechende Versuchsschema aussieht . Entscheiden Sie auf dieser Basis, welche Verteilung X
besitzt und berechnen Sie dann die gewünschten Wahrscheinlichkeiten.
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Vl. Statistische Prozess- und Qualitätskontrolle und Versuchsplanung
Übung 3: Diskrete Verteilungen
Prof. Dr. B. Grabowski
Aufgabe 3
Von der Fertigung eines Massenartikels ist bekannt, dass die Grundgesamtheit einen Fehleranteil von
p = 0,5% enthält. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür,
a) In einer Stichprobe (Ziehen mit Zurücklegen) vom Umfang n= 200 höchsten 2 fehlerhafte
Einheiten zu finden?
b) In einer Stichprobe (Ziehen mit Zurücklegen) vom Umfang n= 500 genau 3 fehlerhafte
Einheiten zu finden?
Aufgabe 4
In der beigefügten Tabelle finden Sie eine Übersicht über diskrete Verteilungen und die zugehörigen
Erwartungswerte und Varianzen der entsprechend verteilten Zufallsgrößen.
Beantworten Sie unter Verwendung der Tabelle folgende Fragen.
Von der Fertigung eines Massenartikels ist bekannt, dass die Grundgesamtheit einen Fehleranteil
von p = 0,5% enthält.
a) mit wie vielen defekten Einheiten ist in einer Stichprobe (mit Zurücklegen) von n= 500 im
Schnitt zu rechnen?
b) Wie viele Ziehungen (mit Zurücklegen) muss man im Schnitt machen, bis zum ersten mal
eine defekte Einheit gezogen wurde?
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Anhang 1
Statistische Prozess- und Qualitätskontrolle und Versuchsplanung
Diskrete Verteilungen
Wahrscheinlichkeitsverteilungen diskreter und stetiger Zufallsgrößen- Übersicht
Diskrete Zufallsgröße
Stetige Zufallsgröße
Wertebereich χ
χ={a1,...,ak } endlich oder abzählbar viel
Werte
∃(a,b) ⊆ R, a < b, mit (a,b) ⊆ χ ∞ viele Werte
Wahrscheinlichkeitsverteilung P
Wahrscheinlichkeitsverteilung von X:
Wahrscheinlichkeitsverteilung wird durch eine
Gesamtheit aller
Dichtefunktion f : χ ⊆ R R definiert:
Einzelwahrscheinlichkeiten pi = P(X = ai) , i
=1,...,k
Dichtefunktion f
Eigenschaften:
∞
f ( x) ≥ 0∀x ∈ χ ,
∫ f ( x)dx = 1
−∞
Eigenschaften:
k
∑p
0 ≤ p i ≤ 1,
i
=1
i =1
Verteilungsfunktion
F (a) := P( X < a) =
∑ P( X = a )
i
i:ai < a
a
F (a ) := P ( X < a ) =
∫ f ( x)dx
−∞
(Summenhäufigkeitsfunktion) F
(F: Stammfunktion von f)
Eigenschaften:
1) 0 ≤ F(x) ≤1, 2) F(x) monoton nicht fallend
3) lim F ( x) = 0,
x → −∞
Berechnung von
Wahrscheinlichkeiten
P( X ∈ A) =
∑ P( X = a )
P( X ≤ a) =
x →∞
P( X ∈ A) = ∫ f ( x)dx
i
i : ai ∈ A
z.B.:
lim F ( x ) = 1
A
∑ P( X = a )
z.B.:
i
i:ai ≤ a
P ( a ≤ X ≤ b) =
P( a ≤ X ≤ b) = P( a < X < b)
b
= ∫ f ( x)dx = F (b) − F (a )
a
∑ P( X = a )
i
i :a ≤ ai ≤ b
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Anhang 1
Statistische Prozess- und Qualitätskontrolle und Versuchsplanung
Diskrete Verteilungen
x M : P( X = x M ) = max P( X = a i )
x M : f ( x M ) = max f ( x)
α-Quantil xα
xα : F ( xα ) ≤ α < F ( xα + ε )
xα : F ( xα ) = α
Erwartungswert EX
EX = ∑ a i P ( X = a i )
ai ∈χ
x∈χ
Modalwert xM
∞
k
EX =
i =1
Varianz Var(X)
∫ xf ( x)dx
−∞
∞
k
Var(X) = ( x − EX ) 2 f ( x)dx
∫
Var ( X ) = ∑ ( ai − EX ) 2 P ( X = ai )
i =1
−∞
Beispielverteilungen 2-Punkt-Verteilung, Binomialverteilung
Poissonverteilung, Diskrete
Gleichverteilung
Normalverteilung, Log-Normalverteilung
Exponentialverteilung, Stetige Gleichverteilung
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Anhang 1
Statistische Prozess- und Qualitätskontrolle und Versuchsplanung
Diskrete Verteilungen
Zusammenhang zwischen I Häufigkeitsverteilungen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
bei diskreten Zufallsgrößen
Sei X – diskret, X = {a 1 , a 2 ,..., a k }
deskriptive Statistik
Wahrscheinlichkeitsrechnung
ai
hn(ai)
a1
hn(a1)
n
→
→∞
a2
hn(a2)
hn (ai ) → pi
ai
pi = P(X = ai)
a1
p1
ak
pk
n →∞
ak
hn(ak)
rel.
Häufigkeitsverteilung
Wahrscheinlichkeits
-verteilung
Aus der Konvergenz der relativen Häufigkeit gegen die Wahrscheinlichkeit ergibt sich:
arithm. Mittel:
k
1
n
x=
∑x
i
n→∞
→
i =1
k
=
∑ a h (a )
i
n
k
EX =
∑a p
i
– Erwartungswert von X
i
i =1
i
i =1
Streuung:
s2 =
1
n
n
∑ (x
− x)
2
i =1
1
=
n −1
=
i
n
n −1
k
∑ (a
2
i
− x ) ⋅ H n (a i )
i =1
k
k
∑
2
( a i − x ) ⋅ h n (a i )
n→∞
→
Var ( X) =
∑ (a
2
i
− EX) ⋅ p i - Varianz von X
i =1
i =1
Empirische Verteilungsfunktion:
Fn ( x) =
∑ h (a )
n
i
n→∞
→ F( x) =
∑p
i
= P( X ≤ x )
i:a i ≤ x
1:a i ≤ x
Anteil aller Beobachtungen
x j , j = 1,..., n mit x j ≤ x
-Verteilungsfunktion von X
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Anhang 1
Statistische Prozess- und Qualitätskontrolle und Versuchsplanung
Diskrete Verteilungen
Tabelle: Spezielle diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Verteilung
von X
Parameter
Bezeichnung
Binomial-
n, p
X~B(n,p)
verteilung
n=1,2,...
Binomialverteilung
0<p<1
Für n=1:
Zweipunktverteilung
Poissonverteilung
Einzelwahrscheinlichkeiten
X~P(λ)
Var(X)
Versuchsschema
(Anwendungsgebiet)
np
np(1-p)
Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei n-ma-liger
unabhängiger Wiederholung eines zweipunktverteilten Versuches mit der
Erfolgswahrscheinlichkeit p die Anzahl der Erfolge X
gleich k ist.
(Bsp: Ziehen einer Stichprobe vom Umfang n mit
Zurücklegen aus einer Grundgesamtheit. p =
Ausschussanteil in der Grundgesamtheit, X = Anzahl
der defekten Teile in der Stichprobe).
λ
λ
Wie bei der Binomialverteilung; aber p und /oder n
unbekannt und EX=np= λ bekannt. Beschreibt Anzahl
von Ereignissen an einem Objekt .
P(X = k)
n
=   p k (1 − p ) n − k
k 
für k = 0,1,...,n
P(X = k) =
λ>0
EX
λk
k!
e −λ
für k = 0,1,2.....
Bsp: Anzahl X vorbeifahrender Autos pro
Zeiteinheit, Anzahl von Astlöchern in einem Brett,
Anzahl von Blitzeinschlägen in einem Gebiet pro Jahr
Wird für große n und kleine p als Näherung der
B(n,p)-Verteilung verwendet:
B(n,p)≈P(λ=np)
(n>20, p<0,01)
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Anhang 1
Statistische Prozess- und Qualitätskontrolle und Versuchsplanung
Hypergeometrische
N=1,2,...
Verteilung
M=1,2,...,N
n=1,2,...,N
Diskrete Verteilungen
P(X = k) =
 M  N − M 

X~Hyp(N,M,n)  
 k  n − k 
N
 
n
Wahrscheinlichkeit dafür, aus einer
M
n
N
n
M
M N − n Grundgesamtheit von N Objekten, von denen M ein
(1 − )
N
N N − 1 Merkmal A aufweisen , bei einer Stichprobe vom
Umfang n (Ziehen ohne Zurücklegen) X=k
Objekte mit Merkmal M zu ziehen.
für k=0,1,..., min{M,n}
Wird für n < N/10 durch die B(n,p=M/N)-Verteilung
angenähert:
Hyp(N,M,n) ≈ B(n, p=M/N)
Geometrische
Verteilung
0<p<1
X~Geo(p)
P(X = k) = p(1 − p) k −1
1
p
1− p
p2
1 k
∑ ai
k i =1
1 k 2 1 k 
ai  einmaliger Durchführung eines Versuches eines von k
∑ ai −  k ∑
k i =1
i =1
 gleichberechtigten Ereignissen eintritt. Wird bei
k = 1,2,3,...
Diskrete
Gleichverteilung
auf einer
Menge
ℵ=
{a1,...,ak}
{a1,...,ak}⊆R
X~G({a1,...,ak})
P( X = ai ) =
1
k
i = 1,2,...,k
Wahrscheinlichkeit dafür, bei n-maliger
Wiederholung eines 2-Punktverteilten Versuchs mit
Erfolgswahrscheinlichkeit p erst beim k.ten Mal
Erfolg zu haben.
2 Wahrscheinlichkeit
dafür, dass bei
Glücksspielen verwendet. Bsp.: X – zufällige
Augenzahl beim Würfeln.
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