6. Übung zur Vorlesung Elemente der Algebra

Dr. R. Plato
6. Übung zur Vorlesung Elemente der Algebra
Wintersemester 2009/2010
Aufgabe 1. (6 Punkte) Es seien die geordneten Mengen .A; / und .B; / gegeben. Zeigen Sie,
dass durch
.a; b/ E .a0 ; b 0 / W” a < a0 _ .a D a0 ^ b b 0 /
eine Ordnungsrelation auf A B definiert ist. (Diese Ordnung bezeichnet man als lexikographische Ordnung.)
Aufgabe 2. (4 Punkte) Geben Sie für die folgenden Teilmengen von R obere und untere Schranken (bzgl. der natürlichen Ordnung auf R) an, falls diese existieren. Man beurteile außerdem
jeweils, ob die betrachten Mengen beschränkt sind.
a) Œ0; 4Œ,
b) Œa; 1Œ
(a 2 R konstant),
c) Œ 3; 2Œ [ Œ4; 5,
d) Ng , die Menge der geraden natürlichen Zahlen.
Aufgabe 3. (6 Punkte) Sind die folgenden Teilmengen von R nach oben bzw. nach unten beschränkt bzgl. der natürlichen Ordnung auf R? Man gebe gegebenenfalls jeweils Infimum bzw.
Supremum an und beurteile außerdem jeweils, ob es sich um Minima bzw. Maxima handelt.
a) Œ 4; 18Œ,
b) 
3; 2Œ,
c) Œ 3; 2Œ [ Œ4; 8,
d)  1; 4 \ 1; 1Œ,
e) [n2N  n; nŒ,
f) Ng , die Menge der geraden natürlichen Zahlen.
Aufgabe 4. (4 Punkte) Bestimmen Sie den Graphen der Funktion f W ¹0; 1; : : : ; nº ! N; k ֏
k 3 C 1.
Aufgabe 5. (4 Punkte) Zeichen Sie den Graphen der Funktion f W Œ 2; 2 ! R ; x ֏ x 3 .
Aufgabe 6. (6 Punkte) Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen und Mengen jeweils die
Mengen f .A/ und f 1 .B/.
a) A D ¹1; 2; 5º; B D
1; 3Œ; f W R ! R ; x ֏ x C 3,
b) A D 1; 1Œ; B D ¹ 1; 0º; f W R ! R ; x ֏ x 2 1,
c) A D ¹0º [ 1; 2Œ; B D ¹aº; f W R ! R ; x ֏ a (a 2 R konstant).
Aufgabe 7. (Zusatzaufgabe, 6 Zusatzpunkte) Sei f W A ! B eine Funktion und seien A1 ; A2 A und B1 ; B2 B Teilmengen. Zeigen Sie Folgendes:
a) f 1 .B1 \ B2 / D f 1 .B1 / \ f 1 .B2 /,
b) f .A1 \ A2 / f .A1 / \ f .A2 /,
c) f 1 .B1 nB2 / D f 1 .B1 /nf 1 .B2 /,
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d) f .A1 nA2 / f .A1 /nf .A2 /.
Aufgabe 8. (Zusatzaufgabe, 6 Zusatzpunkte) Sind die folgenden Abbildungen injektiv, surjektiv
bzw. bijektiv? (Begründen Sie Ihre Antwort.)
a) f1 W N ! N; n ֏ n2 ,
b) f2 W Z ! Z; n ֏ n2 ,
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c) f3 W R ! R C
0 ; x ֏ x C 1,
d) f4 W R ! R ; x ֏ 4x C 1.
Abgabe der Lösungen am 26.1.2010 (Dienstag) vor der Vorlesung.
Hinweis: Die Vorlesung am 2. Februar 2010 entfällt.
Klausurtermin: 2. Februar 2010 (Dienstag), PB-I 001, 8.20 Uhr–9.50 Uhr. Eine Anmeldung ist bis
zum 26. Januar 2010 beim Dozenten möglich. Als Hilfsmittel für die Klausur sind vier einseitig
beschriebene karierte DIN-A4-Seiten zugelassen, wobei höchstens jede zweite Zeile beschrieben
werden soll.
Termin für die Nachklausur: 25. März 2010 (Donnerstag), 8.30 Uhr–10.00 Uhr. Der Raum wird
noch bekanntgegeben.
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