Die Konstruktion der natürlichen Zahlen

“Logische Grundlagen der Mathematik”, WS
2014/15
Thomas Timmermann
12. November 2014
Darstellung natürlicher Zahlen durch Mengen
1. Wie können wir natürliche Zahlen durch Mengen darstellen?
Idee 0 = ∅ und n + 1 = {1, . . . , n}= n ∪ {n} = s(n)
2. Wie erkennen wir, ob eine Menge eine natürliche Zahl darstellt?
Definition Eine Menge a heißt natürliche Zahl, wenn gilt:
(N1) a ist transitiv, d.h. jedes Element ist eine Teilmenge
(N2) x ≤ y :⇔ (x ∈ y ) ∨ (x = y ) definiert eine Ordnung
auf a
(N3) jede nichtleere Teilmenge hat ein Minimum und Maximum
Nun müssen wir zeigen, dass die Definition genau die Mengen beschreibt, die wir
in 1. erhalten.
Lemma. (i) 0 ist eine natürliche Zahl.
Sei n eine natürliche Zahl ungleich 0. Dann gilt:
(ii) s(n) = n ∪ {n} ist auch eine natürliche Zahl.
(iii) Jedes x ∈ n ist eine natürliche Zahl.
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(iv) Es genau eine natürliche Zahl m mit n = s(m).
Beweis. (i) Einfach.
(ii) Übungsaufgabe.
(iii) Aus x ∈ n folgt x ⊆ n und damit recht einfach die Behauptung.
(iv) Nach (N3) hat n ein Maximum m ∈ n, also
n = {x ∈ n : x ≤ m ∨ x = m}
= {x ∈ n : x ≤ m} ∪ {m} = (n ∩ m) ∪ {m} = s(m).
Wenden wir (iv) auf m an, so können wir schreiben:
n = s(m1 ) = s(s(m2 )) = · · ·
mit n 3 m1 3 m2 3 · · · .
Nach (N1) gilt n 3 m1 , m2 , · · · und nach (N3) hat n ein minimales Element. Also
muss der “Abstieg” irgendwann abbrechen:
n = s(m1 ) = s(s(m2 )) = · · · = s k (mk ).
Es folgt mk = ∅, sonst können wir wieder mk = s(mk+1 ) schreiben. Somit ist
n = s(s(· · · (s(0)))).
Satz. Es gibt eine Menge, deren Elemente genau die natürlichen Zahlen sind. Diese
Menge zusammen mit den Definitionen 0 = ∅ und s(x) = x ∪ {x} erfüllt die PeanoAxiome.
Wir bezeichnen diese Menge mit N0 oder auch mit ω.
Beweis. Nach dem Unendlichkeitsaxiom existiert eine Menge a mit ∅ ∈ a und
s(x) ∈ a für alle x ∈ a.
1. Wir zeigen, dass a alle natürlichen Zahlen enthält:
Andernfalls gäbe es eine natürliche Zahl n mit n 6∈ a. Die Teilmenge
b := s(n) \ a ⊆ s(n)
hat nach (N3) ein Minimum m ∈ s(n). Wegen 0 ∈ a ist 0 6= m. Nach ?? gibt es
ein m0 mit m = s(m0 ). Insbesondere ist m0 ∈ s(n). Nach Wahl von m gilt m0 6∈ b,
also m0 ∈ a. Nach Annahme über a folgt m = s(m0 ) ∈ a. Widerspruch.
2. Mit dem Aussonderungsaxiom zeigt man, dass die natürlichen Zahlen eine Teilmenge von a bilden.
3. Das vorige Lemma zeigt, dass diese Teilmenge alle Peano-Axiome erfüllt
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3.3
3.3
Die Rechenoperationen
Die Rechenoperationen
Man konstruiert nun die Rechenoperationen (Addition und Multiplikation) in vier
Schritten:
Zunächst sind die Addition und Multiplikation Abbildungen von N0 × N0 nach N0 :
(x, y ) 7→ x + y
bzw.
(x, y ) 7→ x · y .
Definition. Eine Abbildung von einer Menge a in eine Menge b ist eine Teilmenge
f ⊆ a × b derart, dass es für jedes x ∈ a genau ein y ∈ b mit (x, y ) ∈ f gibt. Wir
schreiben dann
• f : a → b, um zu erklären, dass f eine Abbildung von a nach b ist,
f
• y = f (x) oder y 7→ x, wenn (x, y ) ∈ f .
Beispiel. Seien a und b Mengen. Dann ex. Abbildungen
• die Identität ida : a → a, geg. durch x 7→ x bzw. ida = {(x, x) : x ∈ a};
• die Projektion p1 : a × b → a, geg. durch (x, y ) 7→ x bzw. p1 = {((x, y ), x) :
(x, y ) ∈ a × b};
• die Projektion p2 : a × b → b, . . .
Alle Abbildungen einer Menge a in eine Menge b bilden selbst wiederum eine Menge,
diese wird oft mit ba bezeichnet.
Nun definieren wir induktiv die
• Addition durch x + 0 = x und x + s(y ) = s(x + y ),
• Multiplikation durch x · 0 = 0 und x · s(y ) = (x · y ) + x.
Erhalten wir wirklich Abbildungen? Existieren also die entsprechenden Mengen
{((x, y ), x + y ) : x, y ∈ N0 }
bzw.
Das garantiert der folgende Rekursionssatz:
3
{((x, y ), x · y ) : x, y ∈ N0 }?
3.3
Die Rechenoperationen
Satz. Gegeben seien Mengen a, b und Abbildungen
f:a→b
und
g : a × N0 × b → b.
Dann existiert genau eine Abbildung h : a × N0 → b mit
h(x, 0) = f (x)
und
h(x, s(y )) = g(x, y , h(x, y ))
für alle x ∈ a und y ∈ N0 .
Beweis. Lassen wir weg.
Anwendung:
• wir setzen f (x) = x und g(x, y , z) = s(z) und erhalten
h(x, 0) = f (x) = x,
h(x, s(y )) = g(x, y , h(x, y ))= s(h(x, y ))
und somit die Existenz der Addition h(x, y ) = x + y
• wir setzen f (x) = 0 und g(x, y , z) = x + z und erhalten
h(x, 0) = f (x) = 0, h(x, s(y )) = x + h(x, y ) und somit die Existenz der
Multiplikation h(x, y ) = x · y
Nun beweist man per Induktion die Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetze, z.B:
Satz. Die Addition auf N0 ist kommutativ.
Beweis. Schritt 1: Wir zeigen per Induktion über k: 0 + k = k (= k + 0 nach Def.)
für alle k ∈ N0 .
(i) Induktionsanfang k = 0: 0 + 0 = 0 = 0 + 0 nach Definition.
(ii) Induktionsschritt: Es sei 0+k = k. Nach Definition folgt 0+s(k) = s(0+k) =
s(k).
(iii) Die Menge {k ∈ N0 : 0 + k = k} enthält nach (i) 0 und nach (ii) mit jedem
k auch s(k), also ganz N0 .
Schritt 2: Wir zeigen per Induktion über l: s(k) + l = s(k + l).
(i) Induktionsanfang l = 0: s(k) + 0 = 0 + s(k) = s(k) = s(k + 0) nach Schritt
1.
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3.3
Die Rechenoperationen
(ii) Induktionsschritt: Es gelte s(k) + l = s(k + l). Dann folgt
s(k) + s(l) = s(s(k) + l)
(Def. von +)
= s(s(k + l))
(Annahme)
= s(k + s(l))
(Def. von +)
Schritt 3: Wir zeigen ber Induktion über l: k + l = l + k für alle k ∈ N0 :
(i) Induktionsanfang l = 0: k + 0 = k = 0 + k nach Schritt 1.
(ii) Induktionsschritt: Es gelte k + l = l + k. Dann folgt
(nach Def. von +)
k + s(l) = s(k + l)
= s(l + k)
(nach Annahme)
= s(l) + k
(nach Schritt 2)
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