3.2.4 Reihenfolge von Quantoren 89 bzw. 3.2.5

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Abschnitt 3.2 Aussagen, Logik
Beweis von Aussagen mit Allquantoren, z. B. 8a 2
A W ˇ.a/, gehen oft so vor sich: Sei a 2 A beliebig. Wir
beweisen, dass ˇ.a/ gilt.
Bei mehreren Allquantoren wählt man jeweils einen
Vertreter. Z. B. beginnt man Beweis von „8a 2 A; b 2
B W '.a; b/“ oft so: Seien a 2 A und b 2 B fest gewählt.
Dann gilt '.a; b/.
Allaussagen lassen sich durch Angabe eines Gegenbeispiels widerlegen.
Beispiel. Die Aussage „Alle ungeraden Zahlen sind
Primzahlen“ ist falsch, denn 9 D 3 3 ist ungerade aber
keine Primzahl. M
Existenz (9 und 9 ! )
Notation: 9 x W '.x/
Bedeutung: es gibt x derart, dass '.x/.
Notation: 9 ! x W '.x/
Bedeutung: es gibt genau ein x , so dass '.x/.
Analog zu Allaussagen:
Eine Existenzaussage bezieht sich auf freie Variable
und Prädikat.
Sie bindet die in der Existenzaussage auftretende
freie Variable.
Beispiel. ✘ Es gibt ein x 2 M mit : : :
✘
Jede monotone und beschränkte Folge reeller Zahlen hat einen Häufungspunkt
✘
Für ein geeignetes x gilt log x x .
✘
Im Allgemeinen gilt nicht, dass x 2 C x C 41 eine
Primzahl ist.
✘
W
x 2 M W :::
M
Aufeinander folgende Existenzquantoren dürfen vertauscht werden, d. h.,
9 a W 9 b W '.a; b/
und
Beispiel. Verneinung von „Alle Kinder gehen zur Schule“ ist „Es gibt ein Kind, das nicht zur Schule geht“ M
In Zeichen:
Aussage :.8x 2 M W A.x// ist gleichbedeutend mit
9 x 2 M W :A.x/.
Aussage :.9 x 2 M W A.x// ist gleichbedeutend mit
8x 2 M W :A.x/.
Verneinung einer 9 ! -Aussage ist keine Allaussage.
Beispiel. Verneinung von „Sie hat genau eine Schwester“ ist „Sie hat keine Schwester oder mehr als eine
Schwester.“ M
3.2.4 Reihenfolge von Quantoren 89 bzw.
98
Es kommt auf Reihenfolge an, Tausch ist nicht zulässig.
Beispiel. Betrachte für zwei Mengen A; B von Menschen die Aussage '.a; b/ D a ist verwandt mit b .
Dann:
8a 2 A W 9 b 2 B W a ist mit b verwandt
9 a 2 A W 8b 2 B W a ist mit b verwandt. M
Gelegentlich sind 9 - bzw. 8-Quantoren versteckt. Etwa:
„Der Wert von y D f .x/ ist unabhängig von der Wahl
von x “ ist gleichbedeutend mit „9 y W 8x W f .x/ D y “.
3.2.5 Rechenregeln für Quantoren
Theorem 3.2.22. Seien P .x/; Q.x/ Prädikate mit freier
Variable x , und sei q Aussage, die von x unabhängig ist.
Dann:
(i) :.8x W P .x// D 9 x W :P .x/,
(ii) :.9 x W P .x// D 8x W :P .x/,
(iii) 9 x W P .x/ _ Q.x/ D .9 x W P .x// _ .9 x W Q.x//,
(iv) 8x W P .x/ ^ Q.x/ D .8x W P .x// ^ .8x W Q.x//,
9 b W 9 a W '.a; b/
sind äquivalent. Zulässig ist daher 9 a; b W '.a; b/.
Beweis einer Aussage der Form „9 b W .b/“ erfordert Konstruktion eines bestimmten b , für das .b/
wahr wird.
Beweis einer Aussage der Form „9 ! b W
.b/“ erfordert zusätzlich den Beweis „ .b 0 / wahr für ein
b 0 =)b 0 D b “.
Merke: Verneinung einer Existenzaussage ist Allaussage und umgekehrt.
(v) 8x W q _ P .x/ D q _ .8x W P .x//,
(vi) 9 x W q ^ P .x/ D q ^ .9 x W P .x//.
Beweis. Nur für (iii). Sei linke Seite wahr. Dann gibt es
x , so dass P .x/ wahr oder Q.x/ wahr ist. Im ersten
Fall ist „9x W P .x/“ wahr, im zweiten Fall „9x W Q.x/“.
Insgesamt haben wir damit die Gültigkeit der rechten
Seite. Ist die rechte Seite wahr, so ist P .x/ wahr für ein
x , oder Q.x/ ist wahr für ein x . Damit ist sicher P .x/
wahr oder Q.x/ wahr für ein x . Damit ist die linke Seite
wahr.