Die nicht abbrechende Folge (Pn)nÎ|N = P1, P2,

Extrablatt 06 zur Diskreten Mathematik
BHT Berlin
FB II
Satz
20.10.2010
O. Hamborg
Studiengang Mathematik B – WS 2010/11


Notwendige Bedingungen für Primzahlen der Form
an – 1 und an + 1 mit a, n  Í \ {1}
(an – 1  Ï  n  Ï)
1.


(an + 1  Ï 
2.
a, n  ô
a, n  1
3.
a, n  ô
a, n  1
(an – 1  Ï 
an + 1  Ï  n = 2)
4.
a, n  ô
a, n  1

n = 2k)
k ô
(an – 1  Ï 
n  2  an + 1  Ï)
a, n  ô
a, n  1
Während 3. und 4. sofort aus 1. und 2. folgt, wird mit Hilfe der Formel für die geometrische Summe die
Kontraposition von 1. bzw. 2. bewiesen, d. h.

1.*
n  Ï  2n – 1  Ï

2.*
(
a, n  ô
a, n  1
a, n  ô
a, n  1
n  2m  an + 1  Ï) .
mô
Der Beweis von 1* verläuft analog zu dem (etwas aufwendigeren) von 2.*, wenn man in 2.* die
Prämisse durch eine äquivalente Aussage ersetzt, d. h.
2.**
 
(
a, n  ô
a, n  1
n = k(2l + 1)  an + 1  Ï)
beweist.
k, l  ô
Anmerkung: Die Äquivalenz der Prämissen in 2.* und 2.**, d. h. „n ist keine Zweierpotenz  n lässt
sich in ein Produkt mit mindestens einem ungeraden Faktor zerlegen“, folgt aus der eindeutigen
Primfaktorzerlegung von natürlichen Zahlen (Fundamentalsatz der elementaren Zahlentheorie).
an 1
 a k ( 2l 1)  1 (a k ) 2l 1  1
.


k
k
.
a k  1 Vor

a

1

a

1
2.**
Nun der Beweis von 2.**: Zunächst gilt
Mit
u 1
qu 1

q 1
q
an 1

ak 1
  a  : s
i
erhält man für q = – ak und u = 2l + 1 daraus:
i 0
2l
k i
bzw.
i 0

 a  



an + 1 = (ak +1) 
2l
k i
= (ak + 1) s  Ï für n = k(2l + 1)
i 0
n
Fn  22  1 , n  0
Fermatsche Zahlen
F0 = 3 , F1 = 5 = F0 + 2 , F2 = 17 = F0 F1 + 2 , F3 = 257 = F0 F1 F2 + 2 , F4 = 65537 = F0 F1 F2 F3 + 2 ,
F5 = 641  6700417 = 
n 1
Fn   Fk  2
k 0
Beweis der Rekursionsformel durch vollständige Induktion:





2
2
2
 Fk  Fn   Fk   Fn  Fn  2   2  1 2  1  2
n
n 1
 k 0
k 0

n
n
n 1
F1 = F0 + 2 ;
 1  Fn 1  2
Satz:
Je zwei Fermatsche Zahlen sind rel. prim, d. h. m  n  Fm , Fn relativ prim.
Beweis:
(indirekt) Sei n > m = k und p  Ï ein gemeinsamer Primfaktor von Fk und Fn, dann gilt

n 1
n 1
Fn  pq  Fk = pr . Daraus folgt mit Fn   Fk  2 , dass
q, r  ô
k 0
2

p
Fn   Fk
k 0
p
= q – s  ô ist und
n
somit p = 1 oder p = 2. Also ist p = 2, und es folgt, dass Fn = 22  1 gerade ist.
Extrablatt 06 Notwendige Bedingungen Primzahlen – 2010_10_20