1 Einleitung

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Einleitung
Hinweise zum Gebrauch dieses Skriptes:
Es dienst als Schreibvorlage für den Dozenten. Daher sind sowohl die mathematischen Betrachtungen
als auch die Formulierungen knapp gehalten.
Ergänzende mündliche Hinweise gibt es in den Vorlesungen.
Es handelt sich um unkorrigierte Version.
Diese Vorlesung orientiert sich sehr stark an
Schichl/Steinbauer. Zur besseren Vergleichbarkeit
ist auch die Nummerierung im Skript an die Buchvorlage angepasst. Da die Aufgaben nicht im Skript
enthalten sind, gibt es im Skript Sprünge bei der
Nummerierung.
Aus urheberrechtlichen Gründen sind die Seiten des
Skriptes daher nur für kurze Zeit online verfügbar.
Themen der Vorlesung:
Grundlagen: Beweise, Indizes, Summen, Produkte,
Gleichungsumformungen in Beweisen, vollständige
Induktion;
Logik;
Mengenlehre;
Relationen, Funktionen;
Zahlentheorie.
Einige Notationen für Mengen von Zahlen:
natürliche Zahlen N: 0; 1; 2; 3; : : :
ganze Zahlen
Z: : : : ; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3; : : :
rationale Zahlen Q: Brüche ganzer Zahlen
mit Nenner ¤ 0
reelle Zahlen
R: alle Dezimalzahlen,
Zahlen auf der Zahlengeraden
Wir schreiben kurz n 2 N, falls n eine natürliche Zahl
ist; analoges gilt für n 2 Z. Wir schreiben kurz x 2 R,
falls x eine reelle Zahl ist, analoges gilt für x 2 Q.
2
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Grundlagen
2.1 Beweise
Im Folgenden Aufbau und Durchführung von Beweisen.
Zunächst Definition und ein Beispiel.
Definition. (a) Ganze Zahl m ¤ 0 heißt Teiler einer
ganzen Zahl n, wenn es ganze Zahl k gibt mit n D km.
Wir sagen: n ist durch m teilbar bzw.
m teilt n, Schreibweise: m j n.
(b) Eine ganze Zahl heißt gerade, wenn sie durch 2
teilbar ist.
qed oder q. e. d., Abkürzung für „quod erat demonstrandum“.
Bemerkung. Der vorgestellte Beweis der Proposition
ist direkter Beweis: Es wurde mit Voraussetzung begonnen und daraus durch Umformungen die Behauptung
hergeleitet. M
Definition. Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl p >
1, die nur die trivialen Teiler besitzt. Die einzigen positiven Teiler sind also 1 und p . M
Proposition 2.1.1. Das Quadrat einer geraden Zahl ist
gerade.
Die kleinsten Primzahlen sind 2,3,5,7,11,17, usw. Naheliegende Frage: bricht diese Folge ab, d. h., gibt es größte Primzahl?
Bemerkung. (a) Mathematik besteht aus Aussagen,
die man folgendermaßen herausstellen kann:
Theorem 2.1.3 (Satz von Euklid). Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Hauptsatz, Fundamentaltheorem: Besonders wichtige Resultate.
Beweis. Angenommen, es gibt nur endlich viele Primzahlen, wir bezeichnen sie mit p1 ; p2 ; : : : ; pn (wobei n
die Anzahl der Primzahlen ist). Betrachte nun
Satz, Theorem: Wichtiges Resultat.
Proposition: lateinisch für Aussage. Ist weniger
wichtig als Theorem.
Lemma: Hilfsresultat, das für den Beweis eines
Theorems oder Hauptsatzes verwendet wird.
Definition: dient der Vergabe von Bezeichnungen
oder Abkürzungen. Sie ist weder richtig noch falsch,
dient der Übersichtlichkeit.
(b) Hauptsätze, Sätze, Propositionen werden kursiv gesetzt, Definitionen und Bemerkungen hingegen
nicht.
(c) Gelegentlich wird Ende einer Aussage gekennzeichnet. Hier wird dafür das Symbol M verwendet.
Beweis von Proposition 2.1.1. Sei n gerade Zahl.
Dann existiert ganze Zahl m mit n D 2m. Damit gilt
n2 D .2m/2 D 4m2 D 2.2m2 /, daher ist n2 gerade.
Es ist üblich, Beweisende zu kennzeichnen. In Frage
kommen:
m D p1 p2 pn C 1:
Damit ist keine der Primzahlen pi .1 i n) ein Teiler von m, da Rest jeweils 1. Es besitzt also m keinen
Primteiler.
Es kann aber jede natürliche Zahl > 1 in Primfaktoren zerlegt werden, d. h., ist Produkt von Primzahlen; Beweis wird nachgereicht. Insbesondere gibt es also Primzahl, die m teilt. Das ist Widerspruch.
Bemerkung. Euklid lebte ca. 365–275 v. Chr. Der Beweis des Theorems findet sich in euklids Werk „Die Elemente“. M
Nun Nachtrag zu obigem Beweis. Man beachte Kreisschlussgefahr: im Nachtrag darf nicht Theorem 2.1.3
verwendet werden.
Lemma 2.1.4 (Existenz der Primfaktorzerlegung).
Sei a > 1 natürliche Zahl. Dann gibt es Primzahlen
p1 ; p2 ; : : : ; pk mit
, wird hier verwendet.
: : :, was zu beweisen war.
a D p1 p2 pn :
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Abschnitt 2.3 Summen, Produkte, etc.
Beweis. Angenommen, die Aussage des Lemmas ist
falsch. Dann gibt es eine kleinste natürliche Zahl a ohne Primfaktorzerlegung. Es kann a nicht Primzahl sein,
da sie sonst (triviales) Produkt von Primzahlen wäre.
(a D p1 mit p1 D a. „Trivial“ bedeutet hier n D 1.) Damit gibt es natürliche Zahl 1 < b < a, die a teilt, d. h.,
a D bc für geeignete natürliche Zahl c . Es gilt wegen
b > 1 auch c < a, damit können b und c in Primfaktoren zerlegt werden:
b D p1 p2 ps ;
c D psC1 psC2 : : : pk
für gewisse Primzahlen p1 ; p2 : : : pk . Damit gilt
Hat eine Matrix n Zeilen und m Spalten, so liegt eine
n m-Matrix vor. Ist n D m, so heißt die Matrix quadratisch. Eine Matrix mit m D 1 heißt Spaltenvektor oder
nur kurz Vektor. Eine Matrix mit n D 1 heißt Zeilenvektor. M
Beispiel. Das Kronecker-Symbol besitzt die Form
ıij D
n 1
0
für i D j;
sonst:
Hier liegt Fallunterscheidung vor. Es gilt z. B. ı00 D 1 D
ı33 ; ı12 D 0 D ı28 . M
Indizes dürfen auch links stehen, z. B.
a D b c D p1 p2 ps psC1 psC2 pk
im Widerspruch zur Annahme, dass keine Primfaktorzerlegung für a existiert.
Bemerkung. Der vorgestellte Beweis des Lemmas ist
indirekter Beweis: Es wird angenommen, dass die Aussage des Satzes falsch ist und daraus durch Umformungen ein Widerspruch hergeleitet. M
jl
M oder ji Vlk .
j
Das Kronecker-Symbol wird oft auch in der Form ıi
oder ı ij geschrieben.
2.3 Summen, Produkte, etc.
Beispiel. Ein allgemeines Polynom n-ten Grades (mit
einer beliebigen natürlichen Zahl n) hat die Form
p.x/ D a0 C a1 x C a2 x 2 C C an x n
2.2 Indizes
Indizes dienen der zusätzlichen Auszeichnung von Variablen. Sie sind hoch- oder tiefgestellt, oftmals natürliche Zahlen. Variablen als Indizes sind auch möglich.
Einzahl: Index.
Beispiel. a) x1 ; x2 ; : : : ; xn ;
1
n
2
b) x ; x ; : : : ; x .
Doppel- oder Mehrfachindizes sind ebenfalls möglich,
ebenso indizierte Indizes.
Beispiel. a) A12 ; akl ; bi;j C1; r12345 ; pijkm ; b) Yi1 ;:::;in .
M
Beispiel. Matrixeinträge werden mit Hilfe von Doppelindizes beschrieben: A D .aij /, wobei i D Zeilennr.,
j D Spaltenr., üblicherweise bei 1 beginnend. Für die
Matrix
AD
1
5
9
2
6
10
3
7
11
4
8
12
!
mit n C 1 Termen, die summiert werden. Hierbei sind
a0 ; a1 ; : : : ; an reelle Koeffizienten, mit an ¤ 0. Eine
Kurzschreibweise ist
p.x/ D
n
X
ai x i :
i D0
Hier:
a) Es wird i als Laufindex oder Summationsindex bezeichnet.
b) Die Variable i nimmt alle ganzen Zahlen an, beginnend mit unterer Grenze (hier 0) und endend mit
oberer Grenze (hier n).
c) Gesamtausdruck ist Summe von Termen hinter
dem Summenzeichen (hier ai x i ), wobei der Laufindex alle in b) beschriebenen Werte annimmt.
d) Anzahl der Summanden: obere Grenze minus untere Grenze plus 1. M
Beispiel. a)
3
X
1
i C1
D
1
1C1
C
1
2C1
C
1
3C1
D
i D1
z. B. ist a23 D 6; a33 D 11. Allgemein gilt für dieses
Beispiel
aij D 4.i
1/ C j;
i D 1; 2; 3; j D 1; 2; 3; 4:
(bestimmte Anzahl von Summanden),
b)
n
X
ai D a1 C a2 C C an
i D1
(unbestimmte Anzahl von Summanden),
1
2
C
1
3
C
1
4