Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis
Vorwort
vii
Danksagungen
ix
Anleitung für den Leser
xv
Erklärung der Symbole
xvii
Einleitung
1 Wieviele Primzahlen gibt es?
I
Beweis von Euklid . . . . .
II
Ein Beweis von Goldbach! .
III Beweis von Euler . . . . . .
IV Beweis von Thue . . . . . .
V
Drei vergessene Beweise . .
A
Beweis von Perott .
B
Beweis von Auric . .
C
Beweis von Métrod .
VI Beweis von Washington . .
VII Beweis von Furstenberg . .
1
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3
3
6
8
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10
11
11
12
12
13
2 Wie kann man Primzahlen erkennen?
15
I
Das Sieb des Eratosthenes . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
II
Einige grundlegende Sätze über Kongruenzen . . . . . . 17
xii
Inhaltsverzeichnis
A
Der kleine Satz von Fermat und Primitivwurzeln
modulo einer Primzahl . . . . . . . . . . . . . . .
B
Der Satz von Wilson . . . . . . . . . . . . . . . .
C
Die Eigenschaften von Giuga und von Wolstenholme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D
Primzahlpotenzen als Teiler der Fakultät einer
Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E
Der chinesische Restsatz . . . . . . . . . . . . . .
F
Die Eulersche ϕ−Funktion . . . . . . . . . . . .
G
Folgen von Binomialzahlen . . . . . . . . . . . .
H
Quadratische Reste . . . . . . . . . . . . . . . . .
III Klassische Primzahltests auf der Grundlage von Kongruenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV Lucas-Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V
Primzahltests auf der Grundlage von Lucas-Folgen . . .
VI Fermat-Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VII Mersenne-Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VIII Pseudoprimzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A
Pseudoprimzahlen zur Basis 2 (psp) . . . . . . .
B
Pseudoprimzahlen zur Basis a (psp(a)) . . . . . .
C
Euler-Pseudoprimzahlen zur Basis a (epsp(a)) . .
D
Starke Pseudoprimzahlen zur Basis a (spsp(a)) .
IX Carmichael-Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
X
Lucas-Pseudoprimzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A
Fibonacci-Pseudoprimzahlen . . . . . . . . . . .
B
Lucas-Pseudoprimzahlen (lpsp(P, Q)) . . . . . .
C
Euler-Lucas-Pseudoprimzahlen (elpsp(P, Q)) und
starke Lucas-Pseudoprimzahlen (slpsp(P, Q)) . .
D
Carmichael-Lucas-Zahlen . . . . . . . . . . . . .
XI Primzahltests und Faktorisierung . . . . . . . . . . . . .
A
Aufwand für einen Primzahltest . . . . . . . . .
B
Weitere Primzahltests . . . . . . . . . . . . . . .
C
Titanische und sonderbare Primzahlen . . . . . .
D
Faktorisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E
Kryptographie mit öffentlichem Schlüssel . . . .
3 Gibt es primzahldefinierende Funktionen?
I
Funktionen mit der Eigenschaft (a) . . . . .
II
Funktionen mit der Eigenschaft (b) . . . . .
III Primzahlerzeugende Polynome . . . . . . .
A
Primzahlwerte linearer Polynome . .
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34
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39
44
59
71
76
89
89
93
96
98
101
104
105
107
108
109
110
111
113
122
125
130
135
135
141
142
144
Inhaltsverzeichnis
IV
xiii
B
Über quadratische Zahlkörper . . . . . . . . . .
C
Primzahlerzeugende quadratische Polynome . .
D
Der Wettlauf um Primzahlwerte und Primteiler
Funktionen mit der Eigenschaft (c) . . . . . . . . . . .
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144
149
153
156
4 Wie sind die Primzahlen verteilt?
161
I
Die Funktion π(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
A
Historische Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . 163
B
Summen unter Einschluß der Möbius-Funktion . 176
C
Primzahltabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
D
Exakte Werte von π(x) und Vergleiche mit x/ log x,
Li(x) und R(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
E
Die nichttrivialen Nullstellen von ζ(s) . . . . . . 181
F
Nullstellenfreie Bereiche von ζ(s) und das Fehlerglied im Primzahlsatz . . . . . . . . . . . . . . 185
G
Einige Eigenschaften von π(x) . . . . . . . . . . 186
H
Die Verteilung der Werte von Eulers Funktion . 188
II
Die n-te Primzahl und Lücken zwischen Primzahlen . . 189
A
Die n-te Primzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
B
Lücken zwischen Primzahlen . . . . . . . . . . . 190
III Primzahlzwillinge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
IV Primzahlmehrlinge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
V
Primzahlen in arithmetischer Folge . . . . . . . . . . . . 211
A
Es gibt unendlich viele! . . . . . . . . . . . . . . 211
B
Die kleinste Primzahl in einer arithmetischen
Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
C
Primzahlreihen in arithmetischer Folge . . . . . . 215
VI Goldbachs berühmte Vermutung . . . . . . . . . . . . . 217
VII Die Verteilung von Pseudoprimzahlen und CarmichaelZahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
A
Verteilung von Pseudoprimzahlen . . . . . . . . . 223
B
Verteilung von Carmichael-Zahlen . . . . . . . . 225
C
Verteilung von Lucas-Pseudoprimzahlen . . . . . 227
5 Welche besonderen Arten von Primzahlen wurden
untersucht?
I
Reguläre Primzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II
Sophie-Germain-Primzahlen . . . . . . . . . . . . . .
III Wieferich-Primzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV Wilson-Primzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V
Repunit-Primzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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229
. 229
. 233
. 236
. 241
. 242
xiv
Inhaltsverzeichnis
VI Zahlen der Form k × bn ± 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 244
VII Primzahlen und linear rekurrente Folgen zweiter
Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
6 Heuristische und probabilistische Betrachtungen
I
Primzahlwerte linearer Polynome . . . . . . . . . .
II
Primzahlwerte von Polynomen beliebigen Grades .
III Polynome mit großen Bereichen zerlegbarer Werte
IV Partitio Numerorum . . . . . . . . . . . . . . . . .
Anhang
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257
258
261
269
271
277
Ausklang
281
Literatur
Webseiten
Primzahlen bis 10 000
Verzeichnis der Tabellen
Verzeichnis der Rekorde
Namensverzeichnis
Sachverzeichnis
283
325
327
331
333
335
349