Wiederholung Aussagenlogik und Beweise

WIEDERHOLUNG AUSSAGENLOGIK UND BEWEISE
Zusammenfassung. Dieses Dokument ist kein offizieller Bestandteil der Vorlesung „Lineare Algebra für Physik“, sondern lediglich als ergänzende Hilfestellung gedacht.
Diese Einführung in die Aussagen- und Prädikatenlogik ist nicht vollständig
und berührt nur die grundlegenden Konzepte, welche für formal korrekt geführte
Beweise notwendig sind. Große lateinische Buchstaben (A, B, C, . . . ) repräsentieren im Folgenden Aussagen, denen man eindeutig einen Wahrheitswert in
{0, 1} = {falsch, wahr} zuordnen kann. Aus derartigen Aussagen können durch
den unären Operator ¬ („nicht“) und die binären Operatoren ∧ („und“, „Konjunktion“), ∨ („oder“, „Disjunktion“) neue Aussagen gewonnen werden. Implikation
und Äquivalenz sind neue binäre Operatoren, welche man aus ¬, ∧, ∨ konstruieren
kann, indem man definiert
[A ⇒ B] := [(¬A) ∨ B],
[A ⇔ B] = [((¬A) ∨ B) ∧ ((¬B) ∨ A)].
dann ist
Eine Wahrheitstafel verdeutlicht die eingeführten Verknüpfungen:
A B ¬A A ∧ B A ∨ B A ⇒ B
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Im Fall A = 0 kommt der Implikation keine verwertbare Bedeutung zu, denn
A ⇒ B ist in diesem Fall wahr, unabhängig davon, ob B wahr oder falsch ist.
In diesem Fall impliziert A also nichts für B. Für den Beweis einer Äquivalenz
A ⇔ B sind stets die beiden Richtungen A ⇒ B und B ⇒ A nachzuweisen, oder
man erhält die Aussage B unter Voraussetzung der Aussage A ausschließlich durch
Äquivalenzumformungen. Eine einzige einseitige Implikation zerstört hierbei jedoch
die Korrektheit des Beweises! In einem mathematisch vollständigen Beweis sind
sämtliche Implikationen und Äquivalenzen als solche zu kennzeichnen! Es versteht
sich von selbst, dass sämtliche, nicht durch die Formulierung des Satzes bereits
gegebenen Objekte vor ihrer ersten Benutzung definiert werden müssen. Hierzu
gehören unter anderem der Ursprung verwendeter Variablen, die vollständige
Definition neuer Funktionen, die komponentenweise Einführung von Matrizen
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(sofern man auf die Einträge zugreifen möchte) usw. Für Aussagen der Form
A ⇒ B betrachten wir zunächst drei mögliche Vorgehensweisen:
(1) Direkter Beweis. Aufgrund der Transitivität der Implikation (klar wegen
[X ⇒ Y ] = [(¬X)∨Y ]) genügt es, die Aussage auf bereits als wahr erkannte
Teilaussagen C1 , . . . , Cn zurückzuführen und die entsprechend kleineren
Teilaussagen
[A ⇒ C1 ] ∧ [C1 ⇒ C2 ] ∧ . . . ∧ [Cn−1 ⇒ Cn ] ∧ [Cn ⇒ B]
einzeln nachzuweisen, wobei jede Teilaussage möglicherweise wieder aufgeteilt werden kann.
(2) Kontraposition. Man überprüft leicht, dass
[A ⇒ B] = [(¬A) ∨ B] = [(¬(¬B)) ∨ (¬A)] = [(¬B) ⇒ (¬A)].
(3) Widerspruchsbeweis. Hier wird angenommen, die Aussage B sei falsch,
das heißt, es gelte ¬B, und leitet unter der Annahme A und der zusätzlichen Voraussetzung ¬B mittels vorher als richtig erkannter Aussagen die
Wahrheit einer Aussage C ab, von der man bereits weiß, dass sie falsch
ist. Folglich kann ¬B nicht richtig sein und es gilt A ⇒ B.
Für die Aussage „Es gibt (mindestens) ein (Objekt) x in (der Menge) X, welches
die Eigenschaft E besitzt“ schreiben wir kurz „∃x ∈ X : E(x)“ und nennen ∃ den
Existenzquantor. Für die Aussage „Für alle (Objekte) x in (der Menge) X gilt die
Eigenschaft E“ schreiben wir kurz „∀x ∈ X : E(x)“ und nennen ∀ den Allquantor.
Beispiel 0.1. Die Beweise der folgenden Aussagen ist eine gute Übung.
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¬(¬A) = A
¬(A ∧ B) = (¬A) ∨ (¬B)
¬(A ∨ B) = (¬A) ∧ (¬B)
¬(∀x ∈ X : E(x)) = (∃x ∈ X : ¬E(x))
¬(∃x ∈ X : E(x)) = (∀x ∈ X : ¬E(x))
¬(∀x ∈ X : (∃y ∈ Y : E(x, y))) = (∃x ∈ X : (∀y ∈ Y : ¬E(x, y)))
¬(∃x ∈ X : (∀y ∈ Y : E(x, y))) = (∀x ∈ X : (∃y ∈ Y : ¬E(x, y)))
Unter Verwendung der Quantoren ∃ und ∀ können Negationen beinahe „algorithmisch“ durchgeführt werden. Dazu sind die Quantoren ∃ und ∀, sowie die
Operatoren ∧ und ∨, jeweils unter Beibehaltung ihrer ursprünglichen Reihenfolge, zu Vertauschen und alle auftretenden Aussagen zu negieren. Dies gilt auch
für mehr als zweistellige Aussagen wie in den Stichpunkten (4) bis (7). Verallgemeinerungen der Formeln in (2) und (3) auf die Konjunktion (Disjunktion)
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von mehr als zwei Aussagen kennt man als De Morgan’sche Regeln. Ergänzende Erläuterungen zu diesem und weiteren Konzepten der Aussagen- bzw. Prädikatenlogik findet man auf Wikipedia in der Kategorie mathematische Logik
(http://de.wikipedia.org/wiki/Kategorie:Mathematische_Logik).
Zum Schluss betrachten wir zwei exemplarische Beweise, die das bisher gesagte
unterstreichen sollen.
Theorem 0.2 (Euklid). Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Beweis. Wir führen einen indirekten Beweis, nehmen also an, die Behauptung
sei falsch. Die Negation der Aussage „Es gibt unendlich viele Primzahlen“ ist
einfach „Es gibt nur endlich viele Primzahlen“. In diesem Fall können wir eine
vollständige Liste P = {p1 , . . . , pn } aller Primzahlen erstellen und betrachten das
Produkt aller Zahlen aus P und addieren 1.
m = p1 · p2 · . . . · pn + 1 ∈ N
(0.1)
Da aber jede natürliche Zahl einen Primteiler besitzt (diese Tatsache wird als
bereits bewiesen angenommen), gilt dies auch für m. Wir nennen diesen Primteiler q
und wissen, dass er bereits in P enthalten ist, da P nach Annahme alle Primzahlen
enthält. Daraus folgt, dass q ein Teiler von m und auch ein Teiler von p1 · . . . · pn
ist, denn es existiert ein i mit 1 6 i 6 n und pi = q. Dann muss wegen (0.1) aber
auch 1 durch q teilbar sein, was wegen q > 1 aber nicht möglich ist. Genauer
gesagt, wurde hier ein Widerspruch zu der Tatsache hergeleitet, dass Primzahlen
per Definition größer als 1 sind.
Lemma 0.3. Sei M eine nicht leere, endliche Menge. Für eine Abbildung f : M →
M sind folgende Aussagen äquivalent:
(i) f ist injektiv.
(ii) f ist surjektiv.
(iii) f ist bijektiv.
Beweis. Wir zeigen (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) ⇒ (i). Ist f injektiv, dann folgt |M | =
|f (M )|, also ist M = f (M ) und damit die Abbildung f surjektiv. Das beweist
(i) ⇒ (ii). Ist f surjektiv, so existiert für jedes y ∈ M mindestens ein x ∈ M mit
f (x) = y. Angenommen, es gibt x0 , x1 ∈ M mit x0 6= x1 aber f (x0 ) = y = f (x1 ).
Dann verbleiben nur |M | − 2 Elemente im Definitionsbereich, um auf |M | − 1
Elemente im Wertebereich abzubilden. Das ist unmöglich. Durch Widerspruch
haben wir (ii) ⇒ (iii) hergeleitet. Der Schritt (iii) ⇒ (i) folgt aus der Definition für
Bijektivität. Damit sind alle Implikationen gezeigt und das Lemma bewiesen. Achtung: Die Aussage in Lemma 0.3 gilt nur für endliche Mengen! Für unendliche Mengen ist dies im Allgemeinen falsch.
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Neben den bereits angesprochenen Beweismethoden gibt es noch die folgenden
Verfahren und häufig anwendbaren „Beweiskniffe“:
(1) Vollständige Induktion zum Beweis von Aussagen, welche für eine gewisse
Teilmenge der natürlichen Zahlen gelten.
(2) Soll eine Aussage der Form ∀x ∈ X : E(x) bewiesen werden, so beginnt
der Beweis mit „Sei x ∈ X“, um anschließend durch eine Folge von
Implikationen E(x) zu folgern.
(3) In einer Aussage ∃x ∈ X : E(x) strebt man danach, ein konkretes x0 ∈ X
zu finden, für das E(x0 ) gilt.
(4) Beim Beweis der Gleichheit zweier Mengen A und B sind die beiden
Relationen A ⊆ B und B ⊆ A nachzuweisen. Hinweis: Der Beweis
der Gültigkeit einer Relation der Form A ⊆ B ist ein Speziallfall des
Stichpunktes (2). Startet man den Beweis folglich mit einem beliebigen
a ∈ A und zeigt, dass dieses Element auch stets in B enthalten ist, so hat
man zunächst nur die Hälfte der notwendigen Arbeit verrichtet!