( )(: xB xAMx ⇒ ∈∀ )( )( xB xA ⇒ )
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Beweise Indirekter Beweis Weitere Strategie: indirekter Beweis/Widerspruchsbeweis Zu zeigen: ∀x ∈ M : A( x) Beweise Indirekter Beweis Wie zeigt man, dass eine Aussage A falsch ist? Man zeigt mit einer wahren Implikation, dass aus A B ( x) eine falsche Aussage B folgt. Nimm an, dass A(x) wahr ist und zeige, A mit geeigneten Beweisschritten, dass B(x) wahr ist, bzw. dass ¬B(x) falsch ist. direkter Beweis Einzige Zeile mit wahrer Implikation und falscher Konklusion. B A B 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 indirekter Beweis Beweise Indirekter Beweis Im Widerspruchsbeweis zu A( x) Beweise Beispiel Satz: Es gibt keine positive rationale Lösung der Gleichung B( x ) x2 = 2 nimm an, A(x) sei wahr. äquivalente Formulierung Zeige mit wahren Implikationen ¬B( x) Z1 ( x), Z1 ( x) Z 2 ( x), , Z m ( x) Satz: F wobei F eine falsche Aussage ist. Damit sind dann Z m ( x), Beweis: Sei x = 2 und x ∈ Q + ) Indirekt! C ( x) = ∃p, q ∈ N : p, q teilerfremd ∧ x = Beweise Beispiel Aus C(x) und x 2 = 2 folgt p 2 = 2q 2 ∈ G und C(x). Beweise p q Gegenbeispiel Weitere Strategie: Gegenbeispiel Mit unserem Satz gilt dann p = 2k für ein k ∈ N und C(x). Wird in der Argumentation normalerweise nicht mitgeführt Also gibt es m, n ∈ N mit q = 2m, p = 2n und C(x), d.h. p und q haben einen gemeinsamen Teiler ( ¬ x ∉ Q+ Dann gilt die Aussage: auch falsch, d.h. B (x ) ist wahr. Unser Satz zeigt wieder q ∈ G und C(x). x ∉ Q+ 2 , Z 2 ( x), Z1 ( x), ¬B( x) 2 2 2 Damit ist q = p 2 = 2k ∈ G und C(x). ∀ x ∈ R : x2 = 2 angezweifelt: ∀x ∈ M : A( x) z.B. nach vielen glücklosen Beweisversuchen Versuche ¬(∀x ∈ M : A( x) ) zu beweisen, d.h. ∃x ∈ M : ¬A( x ) falsche Aussage Strategie: finde x, so dass A(x) falsch ist. und sind teilerfremd 1 Beweise Gegenbeispiel µ Behauptung: Für jede natürliche Zahl n ist der Ausdruck n 2 + n + 41 eine Primzahl. Äquivalente Aussage: ϑ ∀ n ∈ N : n 2 + n + 41 ist Primzahl Gegenbeweis: Sei n=41. Dann gilt: n 2 + n + 41 = 41 ⋅ 43 ist keine Primzahl. Φ q.e.d. Abstraktion Zahlen Entwicklung N : 1,2,3,4,5... Z: Q: ∞ Σ δ Zahlen Mathematik im Einsatz Ψ ⊆ β ξ ∀ Ω Entwicklung Beispiel: Zahlen … also auch die Zeit 0 − 1,−2,−3... 1 2 ∇ Zahlen ε quod erat demonstrandum (was zu beweisen war) Zahlen γ ⇔ , 13 , 23 , 14 ,... Q beschreibt beliebig kleine Schnipsel, z.B. 3 43217 Fallexperiment von Galileo und beliebig große Stücke … sollte genügen, um alles Messbare zu beschreiben … 2 Mathematik im Einsatz Beispiel: Zahlen Mathematik im Einsatz Beispiel: Zahlen Angenommen s(t1 ) = 1 Beobachtung: Vorhersage: zu welchem Zeitpunkt ist die Kugel die doppelte Strecke gefallen? Fallgesetz: Aufgabe: bestimme t2 ∈ Q mit s(t 2 ) = 2 s(t ) = ct 2 , t ∈ Q Unser Satz zeigt: so ein t2 gibt es nicht. Also kommt die Kugel nie bei s=2 an? Mathematik im Einsatz Beispiel: Zahlen µ Problem: die rationalen Zahlen haben Lücken. Da wir die Zeit lückenlos empfinden, sind die rationalen Zahlen ein schlechtes Zeitmodell. ϑ Auch den Raum empfinden wir lückenlos … γ ⇔ ∇ ∞ Symbole ε β Alle klassischen Messgrößen erscheinen lückenlos. Φ Wir brauchen ein Kontinuum von Zahlen, d.h. die reellen Zahlen. Symbole Logik ¬ nicht ∧ und ∨ oder impliziert ⇔ ∀ äquivalent für alle ∃ es existiert : gilt/so dass Σ δ Ψ ⊆ Symbole α,Α Alpha β ,Β Beta γ , Γ Gamma δ ,∆ Delta ε , Ε Epsilon ς Zeta η, Η Eta θ , ϑ , Θ Theta ι, Ι Jota κ,Κ Kappa ξ ∀ Ω Griechische Buchstaben λ , Λ Lambda µ, Μ My ν,Ν Ny ξ,Ξ Xi ο , Ο Omikron π,Π Pi ρ, Ρ Rho σ ,Σ Sigma τ,Τ Tau υ , Υ Ypsilon φ ,ϕ , Φ Phi χ, Χ Chi ψ ,Ψ Psi ω , Ω Omega 3
