Algebra und Zahlentheorie Teil I 1 Primzahlen

Algebra und Zahlentheorie
Marcel Kerber
Mitschrift
18.4.12
Teil I
VL3
1
Primzahlen
1.1 Satz natürliche Zahl als Produkt von Primzahlen
Jede natürliche Zahl ohne 0;1 lässt sich als Produkt von Primzahlen darstellen.
Beweis
∃
Wäre der Satz falsch, dann:
die kleinste Zahl
n ∈ N,
die nicht so
darstellbar ist (da jede nichtleere TM natürlicher Zahlen ein kleinstes El. bes.).
• n
• n
prim
⇒n
schon Produkt von Primzahlen
nicht prim
⇒n
besitzt nichttriviale Teiler.
n = ab, a, b ∈ N, a, b > 1, a, b < n
Da n die kleinste Zahl, die nicht als
stellbar ist, ist
⇒ a, b
sein
⇒Widerspruch
Produkt von Primzahlen dar-
a·b = n muss auch Produkt von Primzahlen
1.2 Proposition Teilbarkeit
a, b, c ∈ Z, ggT (a, b) = 1
• a | bc ⇒ a | c
1
Zahsind
auch
Produk-
te(Erweiterung
sind Produkte von Primzahlen
Produkt von Primzahlen
einzelne
len
der Def )
Beweis
ggt(a, b)
1
=
1 ⇒ ∃x, y ∈ Z
= xa + yb
⇔ c = cxa + cxb
i) a
|
cyb
ii) a
|
cxa
⇒ a | cxa + cyb ⇒ a | c
1.3 Korollar
Seien
a, b, c ∈ Z \ {0}
• a | c, b | c, ggt(a, b) = 1 ⇒ ab | c
Beweis
1.
a | c ⇒ c = ax, x ∈ Z
2.
b | c ⇒ c = by, y ∈ Z
3.
ax = by
4.
b | ax
5.
ggt(b, a) = 1
6.
7.
⇒ b | x ⇒ x = bx1 , x1 ∈ Z
4.,5.
c = abx1 ⇒ ab | c
1.4 Korollar
Seien
b, c ∈ Z, p
prim
• p |bc ⇒ p | b ∨ p | c
Beweis
Falls
p - b ⇔ ggt(a, b) = 1 ⇒ p | c
P rop
1.5 Satz ü. d. eindeutige Primfaktorzerlegung
Jede
N3n≥2
lässt sich als Produkt von Primzahlen schreiben. Dessen Fakto-
ren sind bis auf Reihenfolge 1-dtg. bestimmt.
2
Beweis
Wäre der Satz falsch⇒
• n = q1 q2 . . . qk = p1 p2 . . . pn
∃n ∈ N
mit
mit zwei verschiedenen Zerlegungen.
{qi , i ∈ N} ∩ {pj , j ∈ N} = ∅
• q1 | p1 . . . pn ⇒ ∃i : q1 | pi Widerspruch
Kor
∀n ∈ N\{0, 1} : n = pa1 1 . . . pal l
• a1 . . . al ≥ 1
• ai = νpi (n)
• p1 . . . pl
paarweise verschieden
1.6 Def Multiplizität
Für eine Primzahl p mit
faktorzerlegung von
p|n
heiÿt
νp (n)
die
n.
Multiplizität von p in der Prim-
Man erweitert die Def:
1.
p
prim
2.
p - n : νp (n) = 0
Y
⇒ ∀n ∈ N : n =
pνp (n)
p P rimzahl
Beispiele
1.
ν2 (8) = 3
2.
ν3 (8) = 0
3.
νp (8) = 0, ∀p 6= 2
1.7 Zusatz
a, b ∈ Z :
Q
• a = ± p pνp (a)
Q
• b = ± p pνp (b)
Falls
Y
=
±
kgV (a, b)
=
Y
kgV (a, b) · ggt(a, b)
=
ab
ggt(a, b)
pmin{νp (a),νp (b)}
p
p
3
pmax{νp (a),νp (b)}
Beweis
kgV (a, b) · ggt(a, b)
=
Y
=
Y
pmin{νp (a),νp (b)}+max{νp (a),νp (b)}
p
pνp (a)+νp (b) = ab
p
1.8 Proposition
a, b ∈ Z
1.
νp (ab) = νp (a) + νp (b)
2.
νp (a + b) ≥ min{νp (a), νp (b)}
Beweis für 2. min{νp (a), νp (b)} = l ∈ N
• pl | a, pl | b ⇒ pl | a + b ⇒ l ≤ νp (a + b)
Def
1.9 Denition Multiplizität erweiter für Q
a
b
∈ Q, a, b ∈ Z, p prim : νp ( ab ) := νp (a) − νp (b) ∈ Z
∀x ∈ Q gilt:
Y
x=±
pνp (x)
p
Beispiele
•
21
34
=
3·7
2·17
= 2−1 · 3 · 7 · 17−1
• ν2 ( 21
34 ) = −1
• ν5 ( 21
34 ) = 0
1.10 Korollar
√
√
2∈
/ Q( d ∈
/ Q∀d ∈ N : d nicht Quadratzahl
Beweis
√
2=a∈Q
a2 = 2 ⇒ ν2 (a2 ) = ν2 (2) ⇔ 2ν2 (a) = 1 ⇒ ν2 (a) =
4
1
2
∈
/Z