Primzahlen - Schule Brugg

MathBuch 8+
Theorie
Primzahlen
LU 30
Bezirksschule Brugg
Primzahlen (siehe Theorie Zabu6 LU28/29)
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die nur durch 1 und durch sich selber teilbar ist.
Eine Primzahl hat genau zwei Teiler.
2 ist die kleinste Primzahl.
Die ersten Primzahlen lauten:
2
47
3
53
5
59
7
61
11
67
13
71
17
73
19
79
23
83
29
89
31
97
37
101
41
103
43
…
Primfaktorzerlegung
Jede natürliche Zahl lässt sich in ein Produkt aus lauter Primzahlen zerlegen.
Diese Primfaktorzerlegung ist (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) eindeutig,
d.h. es gibt für jede natürliche Zahl genau eine Primfaktorzerlegung.
z.B.:
126 = 2 • 3 • 3 • 7 = 21 • 32 • 71 = 2 • 32 • 7
ggT (siehe Theorie Zabu6 LU 30/31)
Um den grössten gemeinsamen Teiler (ggT) beliebiger natürlicher Zahlen sicher bestimmen
zu können, verwendet man die Primfaktorzerlegung.
Beispiel:
24 = 2 • 2 • 2 • 3
= 23 • 31 • 110
216 = 2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 3
= 23 • 33 • 110
264 = 2 • 2 • 2 • 3 • 11
= 23 • 31 • 111
ggT = 2 • 2 • 2 • 3
= 23 • 31 • 110 = 24
oder
Der ggT ist das Produkt der kleinsten Primzahlpotenzen.
Der ggT ist das Produkt der gemeinsamen Primfaktoren.
kgV (siehe Theorie Zabu6 LU 30/31)
Um das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) beliebiger natürlicher Zahlen sicher bestimmen
zu können, verwendet man die Primfaktorzerlegung.
Beispiel:
16
72
66
kgV
=2•2•2•2
= 24 • 30 • 110
=2•2•2•3•3
= 23 • 32 • 110
= 2 • 3 • 11
= 21 • 31 • 111
= 2 • 2 • 2 • 2• 3 • 3 • 11 = 24 • 32 • 111 = 1584
Das kgV ist das Produkt der jeweils höchsten Potenzen aller
vorkommenden Primfaktoren.
Terme faktorisieren (siehe Theorie Mathbu7 LU 29 und Mathbu8 LU22 und LU29)
ggT ausklammern: 12abc – 15ac + 3a = 3a•(4bc – 5c + 1)
Beim Faktorisieren wird der ggT der Summanden vor die Klammer gesetzt.
paarweise auskl. st + sq + rt + rq
= s•(t + q) + r•(t + q) = (t +q)•(s + r)
2
2
Binome:
I
4x + 12xy + 9y
= (2x + 3y) • (2x + 3y) = (2x + 3y)2
II
25u4 – 80u2v4+ 64v8 = (5u2 – 8v4) • (5u2 – 8v4) = (5u2 – 8v4)2
III
169m2 – 225n4
= (13m + 15n2) • (13m – 15n2)
Trinome:
a2 – 2a – 15
= (a – 5) • (a + 3)
1-2
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Kürzen
Brüche kürzen
Kürzen bedeutet: Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl dividieren.
In Brüchen dürfen nur gleiche Faktoren in Zähler und Nenner gekürzt werden!
Mit Hilfe der Primfaktorzerlegungen von Zähler und Nenner können Brüche vollständig
gekürzt werden. Die Kürzungszahl ist der ggT von Zähler und Nenner.
216
264
Beispiel:
2 2 2 3 3 3
2 2 2 3 11
3 3
11
9
11
Bruchterme kürzen
Genau so wie bei den normalen Brüchen können Bruchterme mit einer Faktorzerlegung
gekürzt und damit vereinfacht werden.
Achtung: nur Faktoren kürzen (nicht aus der Summe kürzen!).
2ax 2
a2x
2 a x x
a a x
2 11 x
1 a 1
Beispiele:
1)
faktorisieren
2)
(–1) ausklammern
3)
Binome
4)
a 3 ab 2
a b
Binome & Trinome
5)
3ab 2 18ab 27a
a 2 b 2 4a 2 b 21a 2
a2
a
x y
y
ab
x
a (a b)
a
1 (x y)
1 ( y x)
Merke: (x + y) = (y + x)
(a + 1) = (1 + a)
aber:
(x – y)
1 (a b)
a b
1
1 (x y)
11
1 (x y)
11
a (a 2 b 2 )
(a b)
3 1 (b 3)
a 1 (b 7)
2x
a
a (a b) (a b)
(a b)
3a (b 2
a
2
(b
2
6b 9)
4b 21)
1
a (a b) 1
1
a(a b)
3 a (b 3) (b 3)
a a (b 3) (b 7)
3(b 3)
a(b 7)
Die Summanden innerhalb einer Klammer dürfen vertauscht werden!
(y – x)
Minuend und Subtrahend dürfen nicht vertauscht werden!
Umformung, indem (–1) ausgeklammert wird!
(y – x) = (–1)•(–y + x) = (–1)•(+x –y) = (–1)(x – y)
2-2