Elementare Zahlentheorie

Elementare
Zahlentheorie
von
Prof. Dr. Friedhelm Padberg
Universität Bielefeld
B*
Wissenschaftsverlag
Mannheim /Wien / Zürich
Inhalt
Einleitung
. .
9
/. Teilbarkeitsrelation
11
1.
2.
3.
4.
11
12
14
16
Definition
Eigenschaften
Teilermengen
Veranschaulichung durch Hasse-Diagramme
:
//. Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie
20
1.
2.
3.
3.1
20
21
24
Vorüberlegungeh
Hauptsatz
Folgerungen
Elemente, Elementezahl und Hasse-Diagramme von Teilermengen T (a)
• • •
3.2 Primzahlkriterium
28
III.ggTundkgV
30
1.
2.
3.
3.1
3.2
3.3
30
32
33
33
34
Definition des ggT
ggT und Primfaktorzerlegung
ggT und Euklidischer Algorithmus
Division mit Rest
Euklidischer Algorithmus
Menge der Vielfachen vom ggT(a, b) und der Linearkombinationen von a und b
•
3.4 Euklidischer Algorithmus und lineare diophantische Gleichungen mit 2 Variablen . . .'
4. Verknüpfungsgebilde (IN, ggT).
24
37
40
42
6
5.
6.
7.
8.
9.
9.1
9.2
Inhalt
Definition des kgV
kgV und Primfaktorzerlegung
Zusammenhang von kgV (a, b) und ggT (a, b)
Verknüpfungsgebilde (IN, kgV)
Diagramme zur ggT- und kgV-Bestimmung
Euler-Diagramme
Hasse-Diagramme
44
45
46
48
49
49
52
IV. Kongruenzen/Restklassen
56
1.
2.
3.
4.
4.1
4.2
56
58
61
68
68
70
Definition
Eigenschaften
Restklassen
Innermathematische Anwendungen
Sätze von Euler und Fermat
Rechenproben
V. Primzahlen
76
1. Anzahl/Verteilung
2. Primzahlformeln
76
81
VI. Eulersche ^-Funktion
85
1. Produktformel
2. Summenformel
VII. Stellenwertsysteme/Teilbarkeitsregeln
1.
2.
2.1
2.2
2.3
3.
3.1
3.2
3.3
3.3.1
3.3.2
3.3.3
3.4
Darstellung/Umrechnung
Rechenoperationen
Addition/Subtraktion
Multiplikation
Division
Teilbarkeitsregeln
Vorüberlegungen
Voraussetzungen
Teilbarkeitsregeln
Endstellenregeln
Quersummenregeln
Alternierende Quersummenregeln
Tabellarischer Überblick
^
.'.'..'
;
85
89
92
92
100
100
102
103
104
104
105
106
107
109
110
111
Inhalt
7
VIII. Systembrüche
114
1.
2.
3.
4.
115
119
127
129
Endliche Dezimalbrüche
Reinperiodische Dezimalbrüche
Gemischtperiodische Dezimalbrüche
Verallgemeinerungen
IX. Vollkommene Zahlen/Fibonacci-Zahlen
136
1. Vollkommene Zahlen
2. Fibonacci-Zahlen
136
141
X. Praktische Anwendungen
145
1.
1.1
1.2
1.3
1.4
2.
3.
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
145
145
146
147
147
151
153
153
154
155
155
157
4.
4.1
4.2
4.3
4.4
5.
Internationale Standard-Buchnummer ISBN
Aufbau und Aufgabe
Prüfziffer
Bestimmung der Prüfziffern mittels Kongruenzen . . . . .
Sicherheit
Einheitliches Kontonummernsystem bei Banken EKONS .
Europäische Artikel-Nummer EAN
Aufbau
Einsatzmöglichkeiten
Prüfziffer
Sicherheit und Grenzen des Prüfziffernverfahrens
Strichcode
Vergleich der Prüfziffernverfahren von ISBN, EKONS und
EAN
Geheimcodes — kryptologische Anwendungen
Vorbemerkungen
Monoalphabetische Substitution
Polyalphabetische Substitution
RSA-Verschlüsselungssystem
Computer und elementare Zahlentheorie — eine kurze Bemerkung
158
159
159
159
162
164
169
Anhang
171
Primzahltabelle (1-1000)
Lösungshinweise zu den Übungen
Literaturhinweise
Liste der verwendeten Symbole
Sachregister
171
172
184
193
195