2.D Primfaktorzerlegung gibt es genau f/2 natürliche

2.D Primfaktorzerlegung
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gibt es genau f/2 natürliche Zahlen c, die keine Darstellung der Form u1 a1 + u2 a2 , u1 , u2 ∈
N, besitzen. (Für 0 ≤ c ≤ f −1 ist genau eine der Zahlen c und f −1−c in der angegebenen
Form darstellbar.)
26. Seien a, b ∈ N∗ und d := ggT(a, b) = sa + tb mit s, t ∈ Z. Genau dann gilt auch
d = s ′ a + t ′ b für s ′ , t ′ ∈ Z, wenn es ein k ∈ Z gibt mit s ′ = s − k db , t ′ = t + k da .
27. a) Sei p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, . . . die (unendliche) Folge der Primzahlen. Ferner
sei A eine abzählbare Menge mit einer Abzählung A = {a1 , a2 , a3 , . . .}, ai 6= aj für i 6= j .
Dann wird durch
(ai1 , . . . , ain ) 7→ p1i1 · · · pnin
U
eine injektive Abbildung der Menge W(A) := n∈N An der Folgen (beliebiger endlicher
Länge) von Elementen aus A – man nennt solche Folgen auch W ö r t e r über dem A l p h a b e t
A – in die Menge N∗ der positiven natürlichen Zahlen gegeben. (Eine solche Kodierung
der Wörter über A heißt eine G ö d e l i s i e r u n g (nach K. Gödel). Die dabei einem Wort
zugeordnete natürliche Zahl heißt die G ö d e l n u m m e r dieses Wortes.)
b) Seien A das endliche Alphabet {a1 , a2 , . . . , ag } mit g Buchstaben, g ≥ 2, und a0 6∈ A
ein weiterer Buchstabe. Ein Wort W = (ai1 , . . . , ain ) über A identifizieren wir nach Auffüllen mit a0 P
mit der unendlichen Folge (ai1 , . . . ain , a0 , a0 , . . .). Man zeige: Die Abbildung
ν−1
(aiν )ν∈N∗ 7→ ∞
ist eine bijektive Abbildung der Menge der Wörter über A auf die
ν=1 iν g
Menge N der natürlichen Zahlen und insbesondere eine Gödelisierung. (Es handelt sich um
eine Variante der g-al-Entwicklung, vgl. Beispiel 2.D.6.)
√
√
28. Seien a, b ∈ Q×
a + b rational,
+ zwei positive rationale Zahlen. Genau dann ist
wenn sowohl a als auch b Quadrat einer rationalen Zahl ist.
29. a) Sei x := a/b ∈ Q ein gekürzter Bruch, a, b ∈ Z, b > 0. Es gelte an x n + · · · +
a1 x + a0 = 0 mit ganzen Zahlen a0 , . . . , an und an 6= 0, n ≥ 1, d.h. x sei Nullstelle der
Polynomfunktion an t n + · · · + a0 . Dann ist a ein Teiler von a0 und b ein Teiler von an .
Insbesondere ist x ∈ Z, wenn der höchste Koeffizient an = 1 ist ( L e m m a v o n G a u ß ) .
b) Man bestimme sämtliche rationalen Nullstellen der Polynomfunktionen t 3 + 43 t 2 + 23 t + 3
bzw. 3t 7 + 4t 6 − t 5 + t 4 + 4t 3 + 5t 2 − 4.
∗
30. a) Seien x, y ∈ Q×
+ und y = c/d eine gekürzte Darstellung von y mit c, d ∈ N . Genau
dann ist x y rational, wenn x die d-te Potenz einer rationalen Zahl ist.
b) Außer (2, 4) gibt es kein Paar (x, y) positiver ganzer Zahlen mit x < y und x y = y x . (Die
Paare (x, y) positiver rationaler Zahlen mit x < y und x y = y x sind (1 + n1 )n , (1 + n1 )n+1 ,
n ∈ N∗. Beweis? Vgl. hierzu auch Beispiel 4.F.10. – Man beachte, dass es zu jeder reellen
positiven Zahl x mit 1 < x < e genau eine reelle Zahl y > x gibt mit x y = y x . Dann
ist notwendigerweise y > e. Zum Beweis dieser Aussagen beachte man, dass x y = y x
äquivalent mit (ln x)/x = (ln y)/y ist, und diskutiere die Funktion (ln x)/x auf R×
+ . Für
Exponential- und Logarithmusfunktion siehe die Abschnitte 11.C, 12.E und 13.C.)
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I Grundlagen
d
31. Seien x ∈ Q×
+ und a eine natürliche Zahl ≥ 2, die nicht von der Form b mit b, d ∈
∗
N , d ≥ 2, ist. Dann ist loga x ganzzahlig oder irrational. (Bemerkung. Ist die Zahl loga x
irrational, so ist sie nach dem Satz von Gelfond-Schneider, vgl. 13.C, Fußnote 10, sogar
transzendent.)
32. Seien m, n ∈ N∗ teilerfremd. Die Folge a0 , a1 , . . . sei rekursiv durch a0 = n, ai+1 =
a0 · · · ai + m, i ∈ N, definiert. Für i ≥ 1 ist ai+1 = (ai − m)ai + m = ai2 − mai + m.
a) Es ist ggT(ai , aj ) = 1 für alle i, j ∈ N mit i 6= j . Die Primteiler der ai , i ∈ N,
liefern unendlich viele verschiedene Primzahlen. (Die ai eignen sich gut zum Testen von
Primfaktorisierungsverfahren.)
m
mi
m+1
mi+1
1
+
+ ··· +
=
−
. Man folgere (vgl. 6.A)
b) Für alle i ∈ N ist
a0
a1
ai
n
ai+1 − m
X∞ mi
m+1
.
=
n
i=0 ai
i
c) Für m = 2 und n = 1 ist ai+1 = Fi = 22 + 1, i ∈ N. (Vgl. Aufg. 10.) Aus b) folgt
P
∞
i
i=0 2 /Fi = 1.
33. Für jedes s ≥ 2 ist (ms , ns ) := 2(2s−1−1) , 2s+1 (2s−1−1) ein Paar (m, n) von positiven
natürlichen Zahlen derart, dass m < n ist und m und n sowie m+1 und n+1 jeweils dieselben
Primteiler haben. (Es gibt weitere solche Paare (m, n) , z. B. (75, 1215) , vgl. Makowski:
Ens. Math. 14, 193 (1968) .)
34. Die Eindeutigkeit der Zerlegung einer positiven natürlichen Zahl als Produkt von unzerlegbaren Zahlen gemäß 2.D.11 ist weit weniger selbstverständlich als die Existenz einer
solchen Zerlegung, vgl. 2.D.4 und die Bemerkung vor 2.D.11. Sei etwa q ∈ N∗ eine beliebige Primzahl (z.B. q := 2 oder q := 1234567891 3 ) ) und N := N∗ − {q} . N ist
multiplikativ abgeschlossen, und jedes Element in N ist Produkt unzerlegbarer Elemente
von N; eine solche Zerlegung ist aber im Allgemeinen nicht mehr eindeutig. Man zeige genauer: Die unzerlegbaren Elemente in N sind neben den gewöhnlichen Primzahlen p 6= q
und deren Produkten pq mit q die beiden Elemente q2 := q 2 und q3 := q 3 . Das Element
n := q 6 ∈ N hat die beiden wesentlich verschiedenen Zerlegungen n = q2 · q2 · q2 = q3 · q3
als Produkt unzerlegbarer Elemente von N. Das unzerlegbare Element q3 teilt in N das
Produkt q2 · q2 · q2 , aber keinen der Faktoren. Ebenso teilt q2 in N das Produkt q3 · q3 ,
aber nicht q3 (vgl. aber 2.D.10) . Ähnlich hat m := pq 3 = (pq)q 2 in N zwei wesentlich
verschiedene Zerlegungen (p Primzahl 6= q) .
35. Eine (beliebige) Folge (xi )i∈N heißt p e r i o d i s c h , wenn es Zahlen t ∈ N und r ∈ N∗
mit xi+r = xi für alle i ≥ t gibt. Man zeige: Ist (xi )i∈N periodisch, so gibt es ein eindeutig
bestimmtes Paar (m, k) ∈ N × N∗ mit folgenden Eigenschaften: (1) Es ist xi+k = xi für
alle i ≥ m. (2) Für jedes Paar (t, r) ∈ N × N∗ mit xi+r = xi für alle i ≥ t ist t ≥ m
und r = ℓk mit einem ℓ ∈ N∗ . (Zur Existenz von k benutze man Aufg. 25 und zeige, dass
für zwei Periodenlängen r, s auch ggT (r, s) eine Periodenlänge ist. – Man nennt m die
(kleinste) V o r p e r i o d e n l ä n g e und k die (kleinste) P e r i o d e n l ä n g e von (xi )i∈N .
(x0 , . . . , xm−1 ) heißt die V o r p e r i o d e und (xm , . . . , xm+k−1 ) die P e r i o d e von (xi )i∈N .
Ist (xi )i∈N nicht periodisch, so setzt man m := ∞ und k := 0.)
3
) Man prüfe mit dem Programm in Beispiel 3.A.4, dass es sich hierbei wirklich um eine
Primzahl handelt. Ist auch 12345678901 prim?
http://www.springer.com/978-3-8274-2574-4
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