Universität Basel Dr. Christine Zehrt Zahlentheorie ¨Ubungsblatt 2

Universität Basel
Dr. Christine Zehrt
Zahlentheorie
25. Februar 2014
Übungsblatt 2
Abgabe: 4. März 2014 in der Vorlesung oder bis 12.00 Uhr im Mathematischen Institut
Aufgabe 1
Zeige, dass es unendlich viele Primzahlen p ≡ 3 mod 4 gibt.
[Hinweis: Analog zum Beweis von Euklid betrachte 4p1 · · · pk − 1.]
Aufgabe 2
(a) Sei P (n) = n2 + n + 41. Finde n in N, so dass P (n) 6∈ P.
(b) Sei P (t) in Z[t], so dass P (n) ∈ P für jedes n in N. Zeige, dass P (t) eine Konstante ist.
[Hinweis: Sei m = P (n0 ) und versuche n ≡ n0 mod m.]
Aufgabe 3
Sei n in N. Die Eulersche Funktion ϕ(n) ist definiert als die Anzahl der m in N mit m ≤ n
und ggT(m, n) = 1. Zum Beispiel ist ϕ(6) = 2 (denn 1 und 5 sind teilerfremd zu 6) und
ϕ(20) = 8 (denn 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17 und 19 sind teilerfremd zu 20).
Zeige, dass
Y
1
.
ϕ(n) = n
1−
p
p|n
[Hinweis: Sei Pn = {p ∈ P | p|n }. Dann folgt aus ggT(m, n) 6= 1, dass es ein p ∈ Pn gibt mit
p|m. Jetzt Eratosthenes.]
Aufgabe 4
n
(a) Die Zahlen Fn = 22 + 1 für n = 0, 1, 2, . . . heissen Fermat Zahlen. Zeige, dass
ggT(Fn , Fm ) = 1 für alle m 6= n.
Qn−1
[Hinweis: Zeige mit Induktion, dass k=0
Fk = Fn − 2 für n ≥ 1.]
n−1
(b) Folgere aus (a), dass pn+1 ≤ 22
+ 1 für die (n + 1)-te Primzahl pn+1 .
(c) Zeige, dass π(x) ≥ log log x für x ≥ 2.
n−1
[Hinweis: Zu x ≥ 2 gibt es n in N mit 22
Aufgabe 5
In dieser Aufgabe soll gezeigt werden, dass die Reihe
∞
X
1
pi
i=1
divergiert, wobei p1 , p2 , . . . die Primzahlen sind.
n
≤ x ≤ 22 . Jetzt nutze (b).]
P
1
1
Ist die Reihe konvergent, dann gibt es ein ℓ in N, so dass ∞
i=ℓ+1 pi < 2 . Wir nennen
p1 , . . . , pℓ die “kleinen” Primzahlen und pℓ+1 , pℓ+2 , . . . die “grossen” Primzahlen.
Für N in N sei Ng die Anzahl der natürlichen Zahlen n ≤ N , die mindestens durch eine
grosse Primzahl teilbar sind und Nk die Anzahl der natürlichen Zahlen n ≤ N , die nur kleine
Primteiler haben.
h i
P
N
N
(a) Zeige, dass Ng ≤ ∞
i=ℓ+1 pi < 2 .
√
(b) Zeige, dass Nk ≤ 2ℓ N .
[Hinweis: Schreibe n ≤ N als n = an b2n mit an quadratfrei.]
(c) Finde ein N = Ng + Nk , welches einen Widerspruch zu (a) und (b) herstellt.
Bemerkung. Die Aufgaben 4(a) und 5 liefern zwei weitere Beweise, dass es unendlich viele
Primzahlen gibt. Der Beweis in Aufgabe 4(a) stammt von Christian Goldbach (1730) und
derjenige in Aufgabe 5 fand Paul Erdös (1938).