Ubungen zur Angewandten Diskreten Mathematik

Übungsblatt 2
Übungen zur Angewandten Diskreten Mathematik
Prof. Dr. Helmut Maier, Hans- Peter Reck
Gesamtpunktzahl: 48 Punkte= 24 Punkte+ 24 Zusatzpunkte
Abgabe: Freitag, 8. November 2013, vor den Übungen
1. Ein effizienterer Weg zur Bestimmung von Primzahlen als die Vorgehensweise vom ersten Übungsblatt
ist der folgende Algorithmus:
Es sei N ∈ N, und es liege eine Liste aller natürlichen Zahlen von 1 bis N vor.
• Streiche die 1.
• Markiere die 2 als Primzahl und streiche alle Vielfachen von 2.
• Betrachte nun die kleinste nicht gestrichene und nicht markierte Zahl p > 1 auf der Liste.
• Markiere diese Zahl als Primzahl und streiche alle Vielfachen von p.
• Wiederhole die beiden letzten Schritte, bis alle Zahlen in der Liste entweder gestrichen oder
als Primzahl markiert sind.
(a) Es sei N = 110.
Führe obiges Verfahren durch und bestimme alle Primzahlen zwischen 1 und 110.
(b) Führe nun ausgehend von diesem Schema dasselbe Verfahren ”rückwärts” durch und lies daraus
alle Darstellungen der Zahl 110 als Summe von zwei Primzahlen ab.
(c) Stelle die geraden Zahlen k mit 12 ≤ k ≤ 24 als Summe von zwei Primzahlen dar.
Gib dabei jeweils alle Möglichkeiten an.
(d) Zwei Primzahlen werden Primzahlzwillinge genannt, wenn für eine Primzahl p die Zahl p + 2
ebenfalls wieder eine Primzahl ist.
Modifiziere dieses Verfahren derart, um eine Liste aller Primzahlzwillinge zu erhalten.
(e) Bestimme alle Primzahlzwillinge zwischen 1 und 110.
(13 Punkte)
2. (a) Beweise: ggT (n, n + 1) = 1 für alle n ∈ N.
(b) Es seien p1 , . . . , pn verschiedene Primzahlen.
Zeige, dass dann N = p1 · . . . · pn + 1 durch eine Primzahl p teilbar ist, die nicht in {p1 , . . . , pn }
vorkommt.
(c) Zeige damit, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.
(6 Punkte)
3. (a) Zeige: ggT (m, n) · kgV (m, n) = m · n für alle m, n ∈ N.
(b) Bestimme mit dem Euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler und daraus das
kleinste gemeinsame Vielfache von
i. m = 47 und n = 63
ii. m = 925 und n = 1887
iii. m = 897 und n = 1300
(8 Punkte)
4. Es seien a, b, c ∈ Z.
(a) Zeige: Die Diophantische Gleichung ax + by = 0 hat unendlich viele Lösungen.
(b) Ist (x, y) = (x0 , y0 ) eine Lösung der Diophantischen Gleichung ax+by = c und (x, y) = (xk , yk )
eine Lösung der Diophantischen Gleichung ax + by = 0, so ist auch (x, y) = (x0 + xk , y0 + yk )
eine Lösung von ax + by = c.
(c) Zeige: Ist ax + by = c lösbar, so gibt es unendlich viele Lösungen.
(d) Gib die kleinste positive Lösung (x, y) der folgenden Diophantischen Gleichungen an oder zeige
deren Unlösbarkeit.
i. 26x + 5y = 1257
ii. 95x + 152y + 323z = 21
iii. 17x + 7y = 834
(e) Zeige nur mit Teilaufgabe d) und dem Binomischen Lehrsatz die Aussage 47|(1257n − 834n )
für alle n ∈ N.
(14 Punkte)
5. (a) Es seien a, b ∈ N. Zeige mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus die Darstellung
a
= q1 +
b
q2 +
1
1
q3 +
1
..
. +qn−1 +
1
qn +
1
qn+1
mit q1 ∈ N0 und qi ∈ N mit 1 < i ≤ n + 1.
(b) Bestimme eine solche Darstellung für
i. a = 27 und b = 10
ii. a = 151 und b = 230
(7 Punkte)