1.3 Arithmetik ganzer Zahlen - Fakultät für Mathematik, TU Dortmund

1.3
Arithmetik ganzer Zahlen
Definition 1.3.1. Seien a, b ∈ Z. Man sagt a teilt b, in Zeichen a|b, falls ∃c ∈ Z
mit b = ac. a heißt dann Teiler von b. Falls a nicht b teilt, schreibt man a - b.
Bemerkung. ∀b ∈ Z: ±1|b und b|0 (±1 bzw. 0 sind die einzigen Zahlen, die
alle ganzen Zahlen teilen bzw. durch alle geteilt werden).
Definition 1.3.2. Sei p ∈ N. Dann heißt p Primzahl falls gilt:
• p > 1 und
• a, b ∈ N, p = ab =⇒ a = 1 (und damit b = p) oder b = 1 (und damit
a = p). D.h., @a, b ∈ N, 1 < a, b < p mit p = ab; d.h. die einzigen Teiler
von p in N sind 1 und p.
Beispiel. Primzahlen < 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47,
53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
Satz 1.3.3. (Fundamentalsatz der Arithmetik; eindeutige Primfaktorzerlegung
natürlicher Zahlen)
(a) Jedes n ∈ N, n > 1, lässt sich als Produkt
von Primzahlen schreiben:
Q
∃r ∈ N, Primzahlen p1 , . . . , pr mit n = ri=1 pi .
(b) Die Zerlegung
Qs in (a) ist bis auf die Reihenfolge der pi eindeutig: Hat man
auch n = i=1 qi mit Primzahlen q1 , . . . , qs , so gilt r = s und (gegebenenfalls nach Umnummerierung) pi = qi , 1 ≤ i ≤ r.
Zum Beweis benötigt man
Lemma 1.3.4. Sei p eine Primzahl, a, b ∈ Z. Dann gilt: p|ab =⇒ p|a oder p|b.
Q
Allgemeiner: a1 , . . . , an ∈ Z, p| ni=1 ai =⇒ ∃i ∈ {1, . . . , n} mit p|ai .
Bemerkung. Um zu testen, ob√n ∈ N, n > 1 Primzahl ist, reicht es, zu testen,
ob p|n für alle Primzahlen p < n. Falls es kein solches p gibt, so ist n Primzahl
(warum?).
√
Bsp: n = 113, 10 < 113 < 11, p = 2, 3, 5, 7 teilen nicht 113, also 113
Primzahl.
Definition und Satz 1.3.5. Gegeben a, b ∈ Z, nicht a = b = 0.
(1) ∃g ∈ Z \ {0} sodass gilt:
1
(i) g|a und g|b;
(ii) d ∈ Z, d|a und d|b =⇒ d|g.
g ist bis auf Vorzeichen eindeutig bestimmt, und man nennt |g| ∈ N den
größten gemeinsamen Teiler von a und b: ggT(a, b) := |g|.
Man sagt a und b sind teilerfremd falls ggT(a, b) = 1.
(2) ∃k ∈ Z sodass gilt:
(i) a|k und b|k;
(ii) d ∈ Z, a|d und b|d =⇒ k|d.
k ist bis auf Vorzeichen eindeutig bestimmt, und man nennt |k| ∈ N0 das
kleinste gemeinsame Vielfache von a und b: kgV(a, b) := |k|.
Bemerkung. a ∈ Z \ {0}: ggT(0, a) = |a|, kgV(0, a) = 0.
Bemerkung. Unter der Annahme der eindeutigen Primfaktorzerlegung lassen
sich ggT und kgV leicht bestimmen: Seien a, b 6= 0, dann existieren Primzahlen
p1 < p2 < . . . < pr , ni , mi ∈ N0 sodass
a=±
r
Y
i
pm
i
,
b=±
r
Y
pni i .
i=1
i=1
Man setze ki = min{mi , ni }, `i = max{mi , ni }. Damit gilt dann wegen der
Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung:
ggT(a, b) =
r
Y
pki i
,
kgV(a, b) =
r
Y
p`i i .
i=1
i=1
Beispiel. a = 90 = 21 ·32 ·51 , b = 108 = 22 ·33 ·50 . ggT(a, b) = 21 ·32 ·50 = 18,
kgV(a, b) = 22 · 33 · 51 = 540.
Aus dem Beweis von Satz 1.3.5 folgt
Korollar 1.3.6. (Lemma von Bézout) Seien a, b ∈ Z, nicht a = b = 0. Dann
∃x, y ∈ Z: ggT(a, b) = xa + yb.
Der Euklidische Algorithmus 1.3.7. Seien a0 , a1 ∈ Z, a1 > 0.
Division mit Rest =⇒ ∃q1 , a2 ∈ Z (eindeutig bestimmt!), 0 ≤ a2 < a1 : a0 =
q1 a1 + a2 .
Falls a2 = 0: fertig.
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Falls a2 > 0: Division mit Rest =⇒ ∃q2 , a3 ∈ Z (eindeutig bestimmt!), 0 ≤
a3 < a2 : a1 = q2 a2 + a3 .
Falls a3 = 0: fertig.
Falls a3 > 0: Mache weiter wie zuvor.
Man erhält so eine Folge a1 > a2 > . . . ≥ 0 von natürlichen Zahlen =⇒ ∃
kleinstes n ∈ N mit an+1 = 0 und der obige Prozess endet dann:
a0 = q 1 a1 + a2
a1 = q 2 a2 + a3
..
.
an−2 = qn−1 an−1 + an
an−1 = qn an + 0
mit a1 > a2 > . . . > an > an+1 = 0.
Es gilt für 0 ≤ i ≤ n − 1: ai = qi+1 ai+1 + ai+2 , also für d ∈ N:
d|ai und d|ai+1 ⇐⇒ d|ai+1 und d|ai+2 ,
daher ggT(ai , ai+1 ) = ggT(ai+1 , ai+2 ).
Also: ggT(a0 , a1 ) = ggT(a1 , a2 ) = . . . = ggT(an−1 , an ) = ggT(an , an+1 ) =
ggT(an , 0) = an .
Mittels dieses Algorithmus kann man durch “Umkehrung” x, y ∈ Z bestimmen
mit ggT(a0 , a1 ) = xa0 + ya1 (siehe auch Lemma von Bézout): Dies lässt sich
leicht zeigen indem man durch Induktion nach i, 1 ≤ i ≤ n zeigt, dass xi , yi ∈ Z
existieren mit ai = a0 xi + a1 yi .
Beispiel. ggT(198, 42) = 6:
198
42
30
12
=
=
=
=
4 · 42 + 30
1 · 30 + 12
2 · 12 + 6
2·6+0
Durch “Zurückrechnen” erhält man
6 = 30 − 2 · 12
(ersetze 6, behalte 12 und 30)
= 30 − 2(42 − 1 · 30) = 3 · 30 − 2 · 42
(ersetze 12, behalte 30 und 42)
= 3(198 − 4 · 42) − 2 · 42 = 3 · 198 − 14 · 42
(ersetze 30, behalte 42 und 198)
Also: 6 = ggT(198, 42) = x198 + y42 mit x = 3, y = −14.
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Satz 1.3.8. Sei n ∈ N, n ≥ 2. Dann sind äquivalent
(1) ∀[a]n ∈ Z/n mit [a]n 6= [0]n existiert [b]n ∈ Z/n mit [a]n [b]n = [1]n ;
(2) n ist eine Primzahl.
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