Lösung zu Aufgabe 14: Durch die Aussagen der Frauen ist gegeben

Lösung zu Aufgabe 14:
Durch die Aussagen der Frauen ist gegeben, dass jeder der 20 Männer mit einer Wahrscheinlichkeit von 60% eine Krawatte bevorzugt, unabhängig vom Wunsch der anderen.
Man kann dies mit dem Urnenmodell vergleichen, bei dem jeweils 1 Kugel entnommen
und dann wieder zurückgelegt wird. Betrachten wir die zugehörige Binominalverteilung:
P (dk = i) = 20i · 0, 6i · 0, 420−i für i = 0, . . . , 20 (dk =Krawattenbedarf)
i
1
P (dk = i) 0, 00000033
2
0, 0000047
3
0, 0000423
4
5
0, 00026969 0, 00129449
i
6
7
8
9
10
P (dk = i) 0, 00485436 0, 01456305 0, 03549744 0, 07099488 0, 11714155
i
11
12
13
P (dk = i) 0, 15973848 0, 17970579 0, 16588227
14
0, 1244117
15
0, 07464702
i
16
17
18
19
20
P (dk = i) 0, 03499079 0, 01234969 0, 00308742 0, 00048749 0, 00003656
Da ds = 20 − dk gilt, ist das Aufstellen der Binominalverteilung für ds (=Sockenbedarf) überflüssig, weil P (ds = i) = P (dk = 20 − i). Es müssen nun die Anzahlen bk und bs
bestimmt werden, die der Weihnachtsmann bestellen wird, sodass die Wahrscheinlichkeit,
dass alle 20 Männer zufrieden sind, mindestens 0, 98 beträgt. Wenn man dabei noch beachtet, dass die Wahrscheinlichkeiten sich ausschließender Ereignisse miteinander addiert
werden können und die resultierende Zufriedenheitswahrscheinlichkeit das Produkt aus
bk
bs
X
X
P (dk = 20 − i) ist, kann folgende Berechnungsformel aufgestellt
P (dk = i) und
i=0
i=0
werden:
P (bk ≥ dk und bs ≥ ds ) =
bk
X
P (dk = i)
i=20−bs
Nun setzt man bs = 20 und verkleinert bk solange, bis die Bedingung noch knapp erfüllt
ist. Knapp heißt hierbei, dass bei anschließender Verringerung von bk um 1 die Zufriedenheitsgarantie nicht mehr erfüllt wäre. Danach kann man bs bis auf einen minimalen Wert
verringern und kommt auf die Zahlen bk = 16 und bs = 14. Der Preis für die Anschaffung
beträgt 6 · bk + 4 · bs = 6 · 16 + 4 · 14 = 152Euro.
Bemerkung: Man hätte auch zuerst bs und dann erst bk dekrementieren können, aber
dann käme als Zahlenpaar bk = 17 und bs = 13 heraus. Der entsprechende Preis wäre
dann 6 · bk + 4 · bs = 6 · 17 + 4 · 13 = 154Euro und damit nicht minimal.