TU Ilmenau Institut für Mathematik Prof. Dr. Michael Stiebitz Wintersemester 2011/12 Mathematik für Informatiker I Übungsserie 2 Aufgabe 1 Goldener Schnitt Zwei Strecken stehen im Verhältnis des Goldenen Schnittes, wenn sich die größere zur kleineren verhält wie die Summe aus beiden zur größeren. Es sei a die Länge der größeren und b die Länge der Kleineren Strecke. Man bestimme dann den Wert des Goldenen Schnittes x = ab . Aufgabe 2 Fibonacci-Folge Sie sollen eine explizite Bildungsvorschrift für die Fibonacci-Folge a = (a0 , a1 , a2 , . . .) bestimmen. Dazu betrachte man zuerst nur die Rekursionsvorschrift an+2 = an+1 + an ∀n ∈ N ∪ {0} (1) ohne Anfangsbedingungen. (a) Man bestimme alle x ∈ R, für welche die geometrische Folge a mit an = xn für alle n ∈ N ∪ {0} die Rekursionsvorschrift (1) erfüllt. (b) Man beweise folgende Aussage: Es seien a, b zwei geometrische Folgen der Form an = xn und bn = y n mit x, y ∈ R. Erfüllen a und b die Rekursionsvorschrift (1), so erfüllt auch die Folge c = αa + βb mit cn = αan + βbn = αxn + βy n die Rekursionsvorschrift (1). (c) Mit Hilfe der Ergebinsse von (a) und (b) bestimme man nun eine Folge a = (a1 , a2 , . . .) die die Rekursionsvorschrift (1) und die Anfangsbedingungen a0 = 0, a1 = 1 erfüllt. Aufgabe 3 Für die folgenden rekursiv definierten Folgen a = (an )n≥1 gebe man eine explizite Bildungsvorschrift an: 1 (a) a1 = 1 und an+1 = 3an für n ≥ 1. (b) a1 = 5 und an+1 = an + 7 für n ≥ 1. (c) a1 = 1 und an+1 = (n + 1)an für n ≥ 1. (d) a1 = 1 und an+1 = (n + 1)2 + an für n ≥ 1. Aufgabe 4 Fermat’sche Zahlen Es sei F = (F0 , F1 , . . .) die Folge der Fermat-Zahlen mit n Fn = 22 + 1. Der französische Mathematiker Fermat (1601 - 1655) vermutete, daß alle FermatZahlen Primzahlen sind. Wie man leicht nachprüft, gilt dies für F0 , F1 , F2 und F3 . Auch die 4te Fermat-Zahl F4 = 65537 ist eine Primzahl. Die 5te Fermat-Zahl hat den Wert F5 = 4294967297 und Euler (1707 - 1783) zeigte, daß F5 den Teiler 641 besitzt und somit keine Primzahl ist. Weitere Primzahlen in der Folge der Fermat-Zahlen sind bisher auch nicht gefunden worden. Im Jahre 1990 wurde eine Faktorzerlegung von F9 gefunden; dabei wurden 700 vernetzte PC’s und ein Supercomputer benutz, wobei die Rechenzeit 4 Monate betrug. Man löse folgende Aufgaben. (a) Für eine natürliche Zahl n ≥ 1 sei Pn = n−1 Fk k=0 das Produkt der Fermat-Zahlen F0 , F1 , . . . , Fn−1 . Man beweise durch vollständige Induktion, dass für alle natürlichen Zahlen n ≥ 1 gilt: Pn = Fn − 2. (b) Man zeige, daß je zwei verschiedene Fermat-Zahlen relativ prim sind. (c) Man beweise, daß es unendlich viele Primzahlen gibt. (d) Wieviele Ziffern hat F9 im Dezimalsystem? Aufgabe 5 Für welche natürlichen Zahlen n gelten die folgenden Ungleichungen: 1) n! ≥ 3n 2) 2n ≥ 2n + 1 3) n3 ≥ 2n−1 2