Black–Scholes–Modell:

Black–Scholes–Modell:
Alles für 0 ≤ t ≤ T ∗ . Gegeben ist der Preisprozess eines
Stocks durch
dSt = µStdt + σStdWt,
(1)
wobei W Standard Brownsche Bewegung.
Der Prozess
1
St = S0 exp σWt + (µ − σ 2 )t)
2
ist die eindeutige Lösung der stochastische Differentialgleichung (1).
Konstante short term interest rate r, Bond Bt = ert,
B0 = 1, erfüllt
dBt = rBtdt.
1
Sei St∗ =
St
Bt
der abgezinste Stock Preis.
Lemma (Folgerung aus Satz von Girsanov):
Das eindeutige Q, unter dem der Prozess St∗ ein Martingal ist, ist gegeben durch die Dichte
r−µ
1 (r − µ)2 ∗
dQ
= exp
WT ∗ −
T
,
f.s.
dP
σ
2
σ2
Unter dem Martingalmaß Q erfüllt der abgezinste Stockpreis S ∗
dSt∗ = σSt∗ dWt∗ ,
wobei Wt∗ = Wt − r−µ
t eine Standard Brownsche Beweσ
gung bezüglich Q ist.
2
Die Verteilungsfunktion der Standard–Normalverteilung
ist
Z x
z2
1
N (x) = √
e− 2 dz.
2π −∞
Definiere die Funktion c : R+ × [0, T ] → R durch
c(s, t) = sN (d1 (s, t)) − Ke−rtN (d2 (s, t)) ,
wobei
d1 (s, t) =
ln
s
K
+ (r + 12 σ 2 )t
√
,
σ t
und
√
d2 (s, t) = d1 (s, t) − σ t.
Satz: Der faire Preis zur Zeit t ∈ [0, T ] einer europäischen
Call–Option mit Ausübungszeitpunkt T und Strike–Preis
K ist für alle t ∈ [0, T ] gegeben durch
Ct = c(St, T − t).
Weiters ist die eindeutige zulässige Handelsstrategie Φ,
die die Option repliziert, gegeben durch
Φ1t
∂c
=
(St, T − t)
∂s
Φ2t
−rt
=e
c(St, T − t) −
Φ1t St
3
.