Brownsche Bewegung und Stokessche Reibung 1 Brownsche

Brownsche Bewegung und Stokessche Reibung
Seminar Mechanik“ bei Prof. Dr. Mielke, SS 2017, Universität Heidelberg
”
Melanie Holzapfel ([email protected]),
Sebastian Hell ([email protected])
1 Brownsche Bewegung
19. Mai 2017
[2] [7]
1.1 Random Walk [3]
Das einfachste Modell der Brown’schen Bewegung ist ein stochastischer Prozess in einer
Dimension, bei welchem die Wahrscheinlichkeit für einen Schritt nach rechts oder links
jeweils 12 beträgt. Fragt man nun nach der Distanz x vom Startpunkt nach n Sprüngen,
welche je eine Distanz von s überwindet, so folgt mit
t=n∗τ
und
s=
n
x
+
2 2∗a
(1)
sowie der Stirling Formel für große n, s
n! = en ∗ nn ∗
√
2
2π ∗ n
(2)
und der Diffusionskonstante
a2
τ
mit a, τ → 0 : D = const. für die Wahrscheinlichkeit
D=
− 12
P (x, t) = (2π ∗ t)
(3)
x2
2 τ + exp −
2Dt
√
2
(4)
Um nun jedoch tatsächlich auch Wahrscheinlichkeiten zu erlangen, dürfen wir keine expliziten Werte x anstreben, sondern lediglich Intervalle [x, x + δx]. Damit folgt:
Z
Z
1
P = P (x, t) ∗
dx = f (x, t)dx
(5)
2a
Dabei stellt f(x,t) eine gaußverteilte Wahrscheinlichkeitsdichte dar, welche sich mit der
Zeit immer flacher aufweitet. Der Mittelwert von x beträgt folgich natürlich 0, aus diesem
Grund ist die Betrachtung von < x2 > für uns von Interesse.
1.2 Langevin-Gleichung [5] [6]
Wir betrachten nun ein ’Brownsches Teilchen’, also ein schweres Teilchen in einem Medium,
hier in einer Flüssigkeit. Dieses wird in unregelmäßiger Weise gestoßen. Dies fließt als
fluktuierende, stochastische Kraft in die Newtonsche Bewegungsgleichung ein, diese wird
nun Langevin-Gleichung genannt.
mv̇ = −mζv + f (t) −
1
dV
dt
(6)
Dabei stellt ζ den Reibungskoeffizienten dar. Die Umkehrung ζ −1 = τ ist dabei die
Relaxations- bzw. Korrelationszeit. Die Lösung der Bewegungsgleichung lautet:
Z
1
v(t) = v0 exp(−ζt) + exp(−ζt) exp(ζτ )f (τ )dτ
(7)
m
Mit oBda t < t0 folgt:
λ
λ
0
2
exp(−ζ[t + t0 ])
< v(t)v(t ) >=
exp(−ζ|t − t |) + v0 −
2ζm2
2ζm2
0
(8)
Für t, t0 >> τ kann der Beitrag von v0 vernachlässigt werden: Die Erinnerung an den
Anfangswert geht verloren.
Für t > τ muss das Äquipartitionstheorem erfüllt werden: < E >= 12 < v(t)2 >= 12 kB T
Daraus resultiert die Einstein-Smoluchowski-Beziehung:
λ = 2ζmkB T
(9)
Doch wir interessieren uns für das messbare Auslenkungsquadrat < x(t)2 >, welches wir
durch integration von < v(t)v(t0 ) > erreichen.
< x(t)2 >=
λ
ζ 2 m2
t = 2Dt
BT
.
Mit D = 2ζ 2λm2 = kζm
Eine geläufigere Form der Einstein-Relation folgt mit der Beweglichkeit µ =
(10)
1
ζm :
D = µkB T
(11)
Die Brownsche Bewegung einer Kugel in einer Flüssigkeit mit der Zähigkeitskonstante η
führt mit der später hergeleiteten Reibungskraft nach dem Stokeschen Gesetz
F = 6πηv0 R
zu folgender Diffusionskontante D =
kB T t
3πaη
(12)
und somit zur mittleren Weglänge:
< x(t)2 >=
kB T t
3πaη
Dies lässt uns nun die Boltzmannkonstante kB experimentell bestimmen!
2
(13)
2 Stokessche Reibung
[4] [1]
Die Stokessche Reibung beschreibt den Widerstand, den eine bewegte Kugel in einer unendlich ausgedehnten Flüssigkeit erfährt.
Zur Herleitung der Formel, suchen wir eine spezielle Lösung der hydrodynamischen
Grundgleichung
∂~v
1
η
+ (~v ∗ grad) ∗ ~v = f~ − ∗ grad p − rot rot ~v .
∂t
ρ
ρ
(14)
Aufgrund der gleichförmigen Bewegung, der Annahme geringer Geschwindigkeiten und
das Ignorieren äußerer Kräfte vereinfacht sich Formel (14) zu
grad p = η 4~v
(15)
Nun verwenden wir den Ansatz, dass die Geschwindigkeit sich aus zwei Teilen zusammensetzt: Einer Potentialströmung v~1 = grad Φ und eine Strömung v~2 , die nicht aus einem
Potential ableitbar ist mit 4v~2 = 0: ~v = v~1 + v~2
Lösen der Differentialgleichung div ~v = 0 (inkompressible Flüssigkeit) unter Erfüllung
der Grenzbedingungen und unter addieren geeigneter Terme die 4Φ = 0 erfüllen liefert
folgende Gleichung für ~v :
!
∂ 1r
a ∂r
a
~v = grad v0 x + b
−
+ e~x
(16)
∂x 2 ∂x
r
Da alle Geschwindigkeitskomponenten auf der Kugeloberfläche (r = R) verschwinden sollen, ergibt sich für die Konstanten a und b:
3R
2
R3
b = v0 ∗
4
a = −v0 ∗
(17)
Somit gilt für den Druck nach Einsetzen von ~v und Integration von Gleichung (15)
p = p0 + η 4Φ = p0 − a η
∂ 1r
3 v0 η R
= p0 −
x
∂x
2 r3
(18)
Als nächstes verwenden wir ein Prinzip aus der Mechanik verformbarer Körper, jedoch
uminterpretiert für die Hydrodynamik, sodass sich aus den Geschwindigkeitskomponenten
die Spannungen berechnen lassen. Das Integral über den Druck und die Spannungen ergibt
dann die resultierende Kraft auf die Kugel.
Aus Symmetriegründen ist lediglich die x-Komponente der Kraft ungleich null:
I
I
F = Fx = − pe~x ∗ df + (σ11 cos(~n e~x ) + σ21 cos(~n e~y ) + σ31 cos(~n e~z ))df
(19)
H
Aufgrund der Symmetrie des Spannungstensors ergibt sich F = (σ~1 − p e~x ) df~ , wobei
über die Oberfläche der Kugel mit Radius R integriert wird.
Da div(σ~1 − p e~x ) verschwindet, wie die Komponentenzerlegung von Formel (14) liefert,
lässt sich der Gaußsche Satz anwenden, sodass das Integral (19) das gleiche Ergebnis liefert,
3
wie wenn man es über eine konzentrische Kugel im Unendlichen erstreckt.
In diesem Fall können alle Terme in höherer Ordnung als 1/r2 gestrichen werden.
Dann vereinfachen sich die Geschwindigkeitskomponenten zu
v x∞ = v 0 +
a x2
a
+
,
2 r 2 r3
vy∞ =
a xy
,
2 r3
vz ∞ =
a xz
2 r3
(20)
Nun verwenden wir folgenden Zusammenhang aus der Elastomechanik, uminterpretiert
für unsere Zwecke:
∂vy
∂vx
∂vx
σ11 = 2 η
,
, σ12 = η
+
∂x ∞
∂y ∞
∂x ∞
(21)
∂vy
∂vz
+
σ13 = η
∂x ∞
∂x ∞
Durch Einsetzten in Formel (19) ergibt sich unter Verwendung von Kugelkoordinaten und
x2 /r2 = cos2 ϑ:
I
F =
(σ~1 − p e~x ) df~ = −3aη
I
x2
~r ∗ df~ −
r5
I
9
p0 e~x df~ = ηv0 R
2
Z
π
Z
dϑ
0
2π
dϕ cos2 ϑ sin ϑ
0
(22)
F = 6πηv0 R
(23)
Literatur
[1] W. Demtröder. Experimentalphysik 1, Mechanik und Wärme. Springer-Verlag, Berlin
Heidelberg, 7. edition, 2015.
[2] E. Frey. Brownsche bewegung in farbe. Physik Journal 10 Nr. 12, 10, 2011.
[3] H. Haken. Synergetik. 3. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 1990.
[4] G. Joos. Lehrbuch der theoretischen Physik. AULA-Verlag, Wiesbaden, 15. edition,
1989.
[5] A. Mielke. Rauschinduzierte phänomene in physik und biologie. Vorlesungsskript,
2001.
[6] F. Schwabl. Statistische Mechanik. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 3. edition, 2006.
[7] Spektrum. Brownsche bewegung: http://www.spektrum.de/lexikon/physik/brownschebewegung/2040. Lexikon der Physik, Heidelberg, 1998.
4