¨Ubungen zur Vorlesung: Statistische Mechanik

Prof. Dr. R. Egger
Dipl.-Phys. A. Schulz, Dipl.-Phys. J. Eckel
Wintersemester 07/08
Blatt 9
Übungen zur Vorlesung: Statistische Mechanik
Übungstermin: Do, 10. Januar 2008, 11:00 Uhr, 25.32.O3.51
Abgabe bis Mi, 9. Januar 2007, 13:00 Uhr, 25.22.O2.31
27. Aufgabe: Tripelpunkt von Wasser
Finden Sie approximativ den Druck und die Temperatur von Wasser am Tripelpunkt. Verwenden Sie dabei
die folgenden Grössen:
Der Dampfdruck von Wasserdampf beträgt:
• p1 = 6.105 · 102 Pa bei T1 = 0◦ C,
• p2 = 6.567 · 102 Pa bei T2 = 1◦ C.
Die spezifischen Volumina von Eis und Wasser sind bei T0 = 0◦ C und p0 = 1.013 · 105 Pa:
Eis: v1 = 1.091 · 10−3 m3 /kg,
Wasser: v2 = 1.000 · 10−3 m3 /kg.
Die latente Wärme von Eis beträgt: L = 334.94 kJ/kg.
(Hinweis: Sie können mit den o.g. Daten eine lineare Approximation an die Koexistenzkurve von flüssiger
und fester Phase konstruieren)
4 Punkte
28. Aufgabe: Gemisch aus idealen Gasen
Betrachten Sie ein Gemisch aus idealen monoatomaren Gasen aus n Teilchensorten.
(a) Wie lauten die Zustandssumme und die freie Energie?
2 Punkte
(b) Zeigen Sie, dass das chemische Potential der Teilchensorte j gegeben ist durch
µj (T, P, cj ) = kB T ln φj (T ) + kB T ln(P cj ) .
Geben Sie die Funktion φj (T ) an!
(Hinweis: Die vorliegende Situation ist einfacher als für ein Gemisch aus Molekülen, welches in Schwabl,
Kap. 5.2 diskutiert wird.)
2 Punkte
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Übungen zur Vorlesung: Statistische Mechanik, Blatt 9
29. Aufgabe: Siedetemperatur eines Flüssigkeitsgemisches
Betrachten Sie ein Gemisch aus zwei Flüssigkeiten. Unter dem äußeren Druck P0 siedet die erste Flüssigkeit
bei T1 , die zweite bei T2 > T1 . Die latenten Verdampfungswärmen L1 und L2 sind konstant. Der molare
Anteil der ersten Flüssigkeit betrage x und der der zweiten 1 − x.
(a) Wie ist der Zusammenhang zwischen x und der Siedetemperatur des Gemisches? Betrachten Sie auch
die Grenzfälle x → 0 und x → 1
(Hinweis: Der Druck des gesättigten Dampfes PS,i (T ) einer Flüssigkeit ist PS,i (T ) = P0 exp − LRi T1 − T1i ,
wobei R die Gaskonstante ist. Nehmen Sie an, dass der relative Dampfdruck P/PS,i (T ) des Stoffes proportional dem molaren Anteil des i-ten Stoffes in der flüssigen Phase ist.
3 Punkte
(b) Betrachten Sie ein Ethanol-Wasser-Gemisch (Rum) mit 40 Vol% Ethanol C2 H5 OH. Bei welcher Temperatur siedet das Gemisch?
(Hinweis: LEthanol = 39 kJ/mol, LWasser = 40 kJ/mol, TEthanol = 79◦ C, ρEthanol = 0.79ρWasser , P0 =
1 × 105 Pa. Da LEthanol ≈ LWasser und TEthanol ≈ TWasser , können Sie in (Ti − T )/T linearisieren. Beachten Sie, dass der Volumenanteil des Ethanols noch in den molaren Anteil unter Berücksichtigung der
Molekulargewichte umzurechnen ist!).
3 Punkte
30. Aufgabe: Photonengas
Ein Gas aus (nichtwechselwirkenden) Photonen gehorcht der Beziehung P V = E/3.
(a) Nehmen Sie an, dass die Energiedichte u = E/V nur von der Temperatur abhängt. Zeigen Sie, dass für
dieses Gas das Stefan-Boltzmann-Gesetz u = σ0 T 4 (σ0 =const.) folgt.
(Hinweis: Betrachten Sie (∂E/∂V )T und benutzen Sie die Maxwell-Relation zwischen (∂S/∂V )T und
(∂P/∂T )V , um eine Differentialgleichung für u(T ) zu erhalten.)
2 Punkte
(b) Berechnen Sie die Entropie des Photonengases. Wie groß ist der Exponent in der Adiabatengleichung
P V γ =const.?
2 Punkte
Wir wünschen allen Hörern der Statistischen Mechanik ein frohes Weihnachtsfest
und einen guten Übergang in das neue Jahr.
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