Korrespondenzzirkel MATHEMATIK 2006/2007 SERIE 2 2.1 2.2 2.3

Korrespondenzzirkel
MATHEMATIK
SERIE 2
2006/2007
Termin: 19.12.2006
Rücksendung an:
Thomas Kiesel, Brahestraße 3, 18059 Rostock
2.1
Von einer Funktion f , die für alle von 0 verschiedenen reellen Zahlen erklärt ist, sei
vorausgesetzt, dass folgendes gilt:
1. Es ist f (1) = 1.
1
1
2. Für jedes x 6= 0 ist f ( ) = 2 · f (x).
x
x
3. Für alle x1 , x2 mit x1 6= 0, x2 6= 0, x1 + x2 6= 0 ist f (x1 + x2 ) = f (x1 ) + f (x2 ).
5
5
Beweisen Sie, dass für jede Funktion f , die diese Voraussetzungen erfüllt, f ( ) = gilt.
7
7
2.2
Ist ABCD einkonvexes Viereck, seine Fläche also durch die Diagonale AC in zwei Dreiecksflächen, nämlich die des Dreiecks ABC und die des Dreiecks ACD zerlegt, so werde
der Flächeninhalt des Dreiecks ABC mit F1 , der des Dreiekcs ACD mit F2 sowie die
Größe des Winkels <
) DAB mit α bezeichnet.
Von einem konvexen Viereck ABCD seien nun die folgenden Eigenschaften gefordert:
AB k CD
(1)
AB > CD
(2)
BC = CD = DA
AC ⊥ BC
(3)
(4)
Man beweise, dass die Forderungen (1) bis (4) erfüllbar sind und dass die Werte von
F1 : F2 und α durch diese Forderungen eindeutig bestimmt sind. Man ermittle diese
Werte.
2.3
Beweisen Sie, dass die folgende Gleichheit gilt:
1
1
1 1 1
+ − + −... +
−
=
2 3 4
465 466
1
1
1
1
1
=
+
+
+ ... +
+
.
234 235 236
465 466
1−
2.4
Es seien n und m natürliche Zahlen mit n ≥ 1, m ≥ 1; N sei die Menge der natürlichen
Zahlen von 1 bis n und M sei die Menge der natürlichen Zahlen von 1 bis m.
Man ermittle die Anzahl aller derjenigen Teilmengen von N , die gemeinsame Elemente
mit M haben.
2.5
Man untersuche, ob es natürliche Zahlen n gibt, für die
1
1
1
+
+ . . . + 2 > 1000
n n+1
n
(1)
gilt. Wenn dies der Fall ist, so untersuche man, ob es eine natürliche Zahl p derart gibt,
daß jede (im Dezimalsystem) p-stellige n die Eigenschaft (1) hat. Trifft auch das zu, so
ermittle man eine derartige Zahl p.