Partielle Differentialgleichungen I im WS09/10 1. ¨Ubungsblatt

Partielle Differentialgleichungen I im WS09/10
Dr. Daniel Matthes, Dipl.-Math. Amru Hussein
1. Übungsblatt (Abgabe 4.11.)
Aufgabe 1: (3 Punkte)
Geben Sie jeweils alle Paare (k0 , k) ∈ C × Rd an, so daß die Funktion
u : R × Rd → C, (t; x) 7→ exp ik · x − k0 t
den folgenden partiellen Diffentialgleichungen genügt:
(i) Wärmeleitungsgleichung ut = ∆u,
(ii) Wellengleichung utt = ∆u,
(iii) Schrödingergleichung iut = ∆u.
Aufgabe 2: (4 Punkte)
Die Funktion u ∈ C 2 (Rd ; R) genüge der Laplacegleichung ∆u = 0. Sei A ∈ Rd×d eine orthogonale Matrix, d.h. AT A = AAT = 1. Zeigen Sie, daß die Funktion
v : Rd → R,
x 7→ u(Ax)
ebenfalls zweimal stetig differenzierbar ist und der Laplacegleichung ∆v = 0 genügt.
Seien nun d = 2 und Φ : R2 → R2 eine konforme Abbildung, d.h., die Komponenten von Φ
erfüllen die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen. Zeigen Sie, daß die Komposition
w := u ◦ Φ : R2 → R wieder der Laplacegleichung ∆w = 0 genügt.
Aufgabe 3: (3 Punkte)
Es sei α ∈ Nd0 ein Multiindex. Beweisen Sie die verallgemeinerte Leibnizformel für alle hinreichend glatten Funktionen u, v : Rd → R:
X α α
D (uv) =
D β uD α−β v.
β
d
β∈N0 : β≤α
Dabei ist die Ungleichung β ≤ α komponentenweise zu verstehen, und α über β“ ist eine
”
geeignete Verallgemeinerung von Binomialkoeffizienten reeller Zahlen auf Multiindizes (die
Formel dafür zu finden ist Teil der Aufgabe).
Hinweis: Benutzen Sie vollständige Induktion über d ≥ 1. Die Leibnizformel für die n-te
Ableitung eines Produkts von Funktionen einer Veränderlichen (also d = 1) können Sie
benutzen, ohne sie noch einmal zu beweisen.
Vorlesungen : Di & Mi 12-14 (05-514)
Übungen : Termine werden in der ersten VL festgelegt
Klausuren : Termine werden in den ersten Wochen festgelegt
Staudingerweg 9 · Johannes Gutenberg–Universität Mainz · D-55099 Mainz
Aufgabe 4: (6 Punkte)
Es sei u : R+ × R → R+ eine positiv-wertige glatte Funktion, die die Wärmeleitungsgleichung
erfüllt:
∂t u(t; x) = ν∂xx u(t; x).
Hier ist ν > 0 eine Konstante.
(i) Führen Sie neue Koordinaten τ ∈ R+ und ξ ∈ R ein vermittels
√
τ = ln R(t), ξ = R(t)−1 x, wobei R(t) = 1 + 2νt
und definieren Sie die Funktion φ : R+ × R → R durch φ(τ ; ξ) = R(t)u(t; x). Rechnen
Sie nach, daß φ die Fokker-Planck-Gleichung erfüllt:
∂τ φ(τ ; ξ) = ∂ξξ φ(τ ; ξ) + ∂ξ ξφ(τ ; ξ) .
(ii) Führen Sie die Funktion ψ : R+ × R → R ein vermittels ψ = −2ν(ln u)x , d.h., es gilt
Z x
1
ψ(t; y) dy .
u(t; x) = u(t; 0) exp −
2ν 0
Rechnen Sie nach, daß ψ die (nichtlineare!) viskose Burgers-Gleichung erfüllt:
∂t ψ(t; x) + ψ(t; x)∂x ψ(t; x) = ν∂xx ψ(t; x).
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