Logik und Logikprogrammierung, ¨Ubungsblatt 4

TU Ilmenau, Fachgebiet Automaten und Logik
Prof. Dr. Dietrich Kuske, Dipl.-Inf. Roy Mennicke
Abgabe am 04.05., Besprechung am 05.05. und 08.05.
Logik und Logikprogrammierung, Übungsblatt 4
(1) Betrachten Sie die Horn-Formel
F = (¬A1 ∨ ¬A2 ∨ A5 ) ∧ A3 ∧ (A2 ∨ ¬A3 ) ∧ (¬A5 ∨ ¬A4 ∨ ¬A6 ∨ A7 ) ∧ A1 ∧ ¬A7 .
(a) Schreiben Sie F in implikativer Form.
(b) Ist F erfüllbar? Wenden Sie den Markierungsalgorithmus aus der Vorlesung an und notieren Sie, in welchem Durchlauf der while-Schleife Sie welche Atomformeln markieren.
(c) Falls F erfüllbar ist, geben Sie eine Belegung B an, die F erfüllt.
(d) Wie viele Belegungen B : {A1 , . . . , A7 } → {0, 1}, die F erfüllen, gibt es insgesamt?
(2) Ein Konditor möchte Pains au chocolat backen. Er verfügt über Mehl, Eier und Hefe in großer
Menge. Jedoch fehlt ihm die Schokolade. Er kann jedoch einige vorhandene Zutaten gegen
andere tauschen, und zwar:
• Mehl + Eier → Milch + Honig
• Mandeln + Honig → Schokolade
• Milch + Hefe → Mandeln
Übersetzen Sie die Aussagen in eine Hornformel und zeigen Sie mittels SLD-Resolution, dass
der Bäcker Schokolade durch Tausch erhalten kann.
(3) Betrachten Sie die Horn-Formel
F = A ∧ (¬A ∨ ¬B ∨ ¬D ∨ E) ∧ (¬A ∨ C) ∧ (¬A ∨ ¬C ∨ D) ∧ B ∧ (¬C ∨ ¬E)
(a) Zeigen Sie mit Hilfe des SLD-Resolutionsverfahrens, dass F unerfüllbar ist. Geben Sie
dazu eine SLD-Resolution der leeren M-Klausel 2 an, die mit K0 = ¬A ∨ ¬B ∨ ¬D ∨ E
beginnt.
(b) Zeigen Sie nun mittels des Markierungsalgorithmus erneut, dass F unerfüllbar ist.
(c) Überführen Sie Ihren Ablauf des Markierungsalgorithmus in eine SLD-Resolution der leeren M-Klausel. Gehen Sie dabei wie im Beweis des Satzes auf Folie 137 vor.
(4) Seien P , Q, R und S Relationssymbole, f und g Funktionssymbole und a eine Konstante.
Betrachten Sie die folgende prädikatenlogische Formel:
F = (R(x) ∨ ∃x∀y : (P (f (x), z) ∧ Q(a))) ∨ ∀z : S(x, z, g(x))
(a) Geben Sie analog zu der Tabelle aus der Vorlesung sämtliche Teilformeln an, die in der
Formel F enthalten sind.
(b) Betrachten Sie jede Teilformel G von F und bestimmen Sie für jedes Vorkommen einer
Variablen in G, ob es frei oder gebunden ist. Ermitteln Sie weiterhin für jede in G vorkommende Variable x, ob x in G frei ist.
(c) Welche Teilformeln sind atomare Formeln, welche sind Aussagen?
(d) Welche Terme sind in F enthalten?
(5) Sei F eine prädikatenlogische Formel. In der Vorlesung wurde die Menge fV(F ) der freien
Variablen der Formel F definiert. Definieren Sie fV(F ) formal per Induktion über den Aufbau
der Terme und Formeln.
(6) Geben Sie für die folgenden PCP-Instanzen eine Lösung an bzw. begründen Sie, warum es
keine Lösung gibt:
(a) I1 = (aba, a), (ba, ab), (ab, abab)
(b) I2 = (1, 111), (1110111, 1110), (101, 01)