Einführung in die Topologie Blatt 4

Prof. Dr. B. Hanke
Einführung in die Topologie
Blatt 4
Übung 1 Es sei (Xn , dn )n∈N eine abzählbare Familie metrischer Räume. Wir nehmen zusätzlich an,
dass jede Metrik durch 1 nach oben beschränkt ist. Man zeige, dass durch die Setzung
dn (xn , yn )
d((xn ), (yn )) := sup
|n∈N
n+1
Q
eine Metrik d auf dem Produkt X := n∈N Xn definiert wird, deren induzierte Topologie mit der
Produkttopologie übereinstimmt. Betrachten Sie hierfür die -Bälle in X und benutzen Sie, dass die
Metriken auf Xn durch 1 beschränkt sind. Weiterhin zeige man, dass diese Metrik auf X total beschränkt ist, falls alle (Xn , dn ) total beschränkt sind. Man folgere nun mit Hilfe von Aufgabe 4 auf
Blatt 3 (und vielleicht auch Aufgabe 4 von Blatt 1), aber ohne den Satz von Tychonoff zu zitieren:
Ein abzählbares Produkt von kompakten metrisierbaren Räumen ist kompakt.
Übung 2 Wir betrachten die Teilmenge
A :=
[
k∈N,n∈N
1 + 3k 2 + 3k ,
3n
3n
von R und definieren die Cantormenge
C := [0, 1] \ A ⊂ R .
Zeigen Sie: Die Cantormenge ist total unzusammenhängend (d.h. die Zusammenhangskomponenten
bestehen jeweils genau aus einem Punkt) und kompakt bezüglich der Teilraumtopologie. Ist C ein
diskreter Raum?
Übung 3 Ziel dieser Übung ist die Konstruktion eines alternativen (und vielleicht bekannteren)
Modells der Vervollständigung eines metrischen Raumes.
e die Menge aller Cauchyfolgen x := (xn )n∈N
Es sei (X, d) ein metrischer Raum. Wir bezeichnen mit X
in X. Wir setzen x ∼ y, falls
lim d(xn , yn ) = 0 .
e definiert. Es sei Y = X/
e ∼ die Menge der ÄquiMan zeige, dass ∼ eine Äquivalenzrelation auf X
valenzklassen. Bezeichnet [x] die Äquivalenzklasse der Cauchyfolge x, so zeige man, dass durch die
Setzung
d([x], [y]) := lim d(xn , yn )
n7→∞
eine wohldefinierte Metrik auf Y gegeben ist und dass diese vollständig ist. Wir definieren nun eine
Abbildung
φ : X → Y , x 7→ [(x, x, x, x, x, . . .)] .
Man zeige, dass φ eine isometrische Einbettung ist und dass
φ(X) = Y .
e Man zeige nun, dass die Folge
Um den letzten Punkt zu beweisen, sei x = (x1 , x2 , x3 . . .) ∈ X.
(φ(xn ))n∈N in Y gegen [x] konvergiert.
Bitte wenden.
Übung 4 Wir betrachten die Menge I := {0, 1}N der Binärfolgen (bk )k∈N , bk ∈ {0, 1}, und das
topologische Produkt (hier ist {0, 1} wieder mit der diskreten Topologie versehen)
Y
X :=
{0, 1} .
i∈I
Nach Tychonoff ist X kompakt. Zeigen Sie, dass X nicht folgenkompakt ist.
Anleitung: Ähnlich wie in der Vorlesung identifizieren wir X mit dem Raum aller Abbildungen f : I → {0, 1}
versehen mit der Topologie der punktweisen Konvergenz. Betrachten Sie nun die Folge fn : I → {0, 1},
fn ((bk )k∈N ) := bn .
Trotzdem besitzt laut Vorlesung die Folge (fn ) ein in X konvergentes Unternetz. Wie kann das sein?
Übung 5 (Bonusaufgabe) Es sei X :=
Q
i∈R {0, 1} das Produkt von R-vielen Kopien des diskreten
Raumes {0, 1}, vgl. Aufgabe 4 auf Blatt 3. Wir betrachten den Unterraum
C := {(xi )i∈R | xi = 1 f ür abzählbar viele i ∈ R}
mit der von X induzierten Topologie. Zeigen Sie, dass C folgenkompakt, aber nicht kompakt ist.
Anleitung: Beachten Sie, dass die Topologie auf C die der punktweisen Konvergenz ist. Um zu zeigen, dass C
nicht kompakt ist, benutzen Sie das Ergebnis von Aufgabe 5 auf Blatt 3.
Abgabe spätestens Montag, den 12. Mai, um 10 Uhr im Übungskasten.