9.¨Ubungsblatt zur ” Vorlesung Hilbertraummethoden“

Institut für Mathematik
Prof. Dr. Helge Glöckner
Dr. Elke Wolf
WS 09/10
07.12.2009
9. Übungsblatt zur
Vorlesung Hilbertraummethoden“
”
Gruppenübung
Aufgabe G29 (Beschränkt oder unbeschränkt?)
Auf dem Raum E := R[X] aller reellen Polynome in einer Unbestimmten betrachten wir
die Norm
k.k : E → [0, ∞[, kpk = sup{|p(x)|; x ∈ [−1, 1]}.
Gegeben x ∈ R sei αx : E → R, p 7→ p(x) die Punktauswertung in x.
(a) Zeigen Sie, daß αx für x ∈ [−1, 1] ein beschränktes lineares Funktional (und somit
stetig) ist.
(b) Berechnen Sie kpn k für die Monome pn = X n (mit n ∈ N0 ).
(c) Zeigen Sie, daß das lineare Funktional αx für x ∈ R mit |x| > 1 nicht beschränkt
(und somit unstetig) ist.
(d) Ist der Verschiebungs-Operator
S : E → E, p 7→ p(X − 1)
beschränkt?
(e) Ist der Ableitungs-Operator
D : E → E, p 7→ p′
beschränkt?
(f) Ist der Integrations-Operator
I : E → E, I(p)(x) :=
Z
x
p(t) dt
−1
beschränkt?
Aufgabe G30 (Multiplikationsoperatoren)
Sei p ∈ [1, ∞[. Gegeben eine Folge x = (xn )n∈N komplexer Zahlen und y = (yn )n ∈ ℓp
sei mx (y) die Folge mit Einträgen mx (y)n = xn yn .
(a) Zeigen Sie: Ist x ∈ ℓ∞ , so ist kmx (y)k1 ≤ kxk∞ kykp , somit mx : ℓp → ℓp ein
beschränkter linearer Operator.
(b) Berechnen Sie kmx (en )kp und die Operatornorm kmx kop .
(c) Zeigen Sie auch: Ist x irgendeine Folge derart, daß mx (y) ∈ ℓp für alle y ∈ ℓp , so ist
x ∈ ℓ∞ .
Aufgabe G31 (Dual von c0 )
P
Sind P
rn ≥ 0 gegeben mit ∞
n=1 rn = ∞, so existieren reelle Zahlen tn > 0 mit tn → 0
und ∞
t
r
=
∞.
n=1 n n
Hausübung
Aufgabe H22 (Adjungierte)
Seien E und F normierte Räume und α : E → F eine stetige, lineare Abbildung. Dann
ist die zu α adjungierte Abbildung α′ definiert durch α′ : F ′ → E ′ , (α′ y ′ )(x) = y ′ (α(x))
Zeigen Sie:
α′ ist stetig linear mit kα′ kop ≤ kαk.
Hat α dichtes Bild, so ist α′ injektiv.
Es gelten (α ◦ β)′ = β ′ ◦ α′ , id′E = idE ′ .
Ist α ein topologischer Isomorphismus (stetig linear mit stetig linearer Umkehrfunktion), so ist auch α′ ein topologischer Isomorphismus
(e) Ist α ein isometrischer Isomorphismus, so ist auch α′ ein isometrischer Isomorphismus
e k.ke, η) eine Vervollständigung, so ist
(f) ist (X, k.k) ein normierter Raum und (X,
e ′ → X ′ ein isometrischer Isomorphismus.
η′ : X
(a)
(b)
(c)
(d)
Aufgabe H23 (Vervollständigung)
(a) Ist M eine Menge und N eine unendliche Menge mit |N | ≥ |M |, so ist |M ∪N | = |N |.
(also |M ∪ N | = max{|M |, |N |}, wenn eine der Mengen unendlich ist).
(b) Zeigen Sie: Sind M und N Mengen, so existiert immer eine zu M disjunkte Menge
C, welche zu N gleichmächtig ist. (Hinweis: Nach Ersetzen von M durch M ∪ N ist
o.B.d.A. die Menge M unendlich. Sei P die Potenzmenge von M ∪ N . Zeigen Sie,
dass |P \ M | = |P | ≥ |N |).
e k.ke, η) eine Vervollständigung. Nach
(c) Sei nun (X, k.k) ein normierter Raum und (X,
(b) existiert eine zu X disjunkte Menge C, welche es gibt also eine Bijektion f : C →
e \ η(X). Wir definieren nun
X
e
g: X ∪ C → X
durch g(x) := f (x) falls x ∈ C; g(x) := η(x) falls x ∈ X. Dann ist g eine Bijektion
und somit läßt sich Y := X ∪ C auf eindeutige Art und Weise so zu zu einem
e ein
normierten Raum machen, daß g ein isometrischer Isomorphismus wird. Da X
Banachraum ist, ist auch Y ein Banachraum. Zeigen Sie, daß Y , zusammen mit
der Inklusion ζ : X → Y , eine Vervollständigung für X ist. (man darf somit immer
e und η die Inklusion ist).
annehmen, daß X ⊆ X
Aufgabe H24 (Vervollständigung von Hilberträumen)
e = E/N seine Vervollständigung als normierter Raum, wobei
Sei H Prähilbertraum, H
E der der Cauchy-Folgen in H ist. Zeigen Sie:
(a) Jede Cauchyfolge (xn )n∈N in H ist beschränkt.
(b) Sind x = (xn ), y = (yn ) Cauchy-Folgen in H, so ist (hxn , yn i)n∈N eine Cauchyfolge
in C, hat also einen Grenzwert in C. Wir schreiben hx, yi∼ für den Grenzwert.
e und hx, xi∼ = (kxke)2. Also ist H
e ein Hilber(c) h., .i∼ ist ein Skalarprodukt auf H
traum.