Diskrete Mathematik - Fachbereich Mathematik

Fachbereich Mathematik
Dozent: Prof. Mathias Schacht
Übungen: Silvia Messuti
Fabian Schulenburg
SS 2013
05. April 2013
Diskrete Mathematik
1. Serie
Abgabe am 12. April um 8:30 (vor der Vorlesung!)
Aufgabe 1 (§1.3, Nr. 7)
[4 Punkte]
Sei n ≥ 2 eine natürliche Zahl. Wir betrachten folgendes Spiel: Zwei Spieler schreiben
gemeinsam eine Folge von Nullen und Einsen auf. Sie beginnen mit einer leeren Zeile und
ziehen/schreiben abwechselnd. Ein Zug besteht darin, an das Ende der Zeile eine 0 oder
eine 1 zu schreiben. Ein Spieler verliert, wenn die von ihm hinzugefügte Ziffer einen Block
der Länge n erzeugt, der in der Folge schon einmal vorkommt (auch wenn die beiden
Positionen überlappen). Für n = 4 könnte eine Folge so aussehen: 00100001101011110011
(der zweite Spieler hat verloren, weil durch den letzten Zug 0011 wiederholt wird).
(a ) Beweisen Sie, dass dieses Spiel stets nach endlich vielen Schritten ein Ende findet.
(b ) Zeigen Sie, dass für ungerades n der zweite Spieler (also der, der den zweiten Zug
macht) eine Gewinnstrategie hat.
Tipp: Probiere zuerst n = 3.
Aufgabe 2 (§2.2, Nr. 9 und §2.3, Nr. 7)
[6 Punkte]
Sei (X, 4) ein Poset und A ⊆ X eine Teilmenge. Ein Element s ∈ X heißt Supremum der
Menge A, wenn folgendes gilt:
• a 4 s für alle a ∈ A,
• wenn a 4 t für alle a ∈ A ist, wobei t ein Element der Menge X ist, dann ist s 4 t.
Ein Supremum s kann in A enthalten sein, muss aber nicht. Das Infimum einer Teilmenge
A ⊆ X ist analog definiert, nur dass alle Ungleichungen in die andere Richtung gehen.
(a ) Zeigen Sie, dass jede Teilmenge A ⊆ X höchstens ein Supremum und höchstens ein
Infimum hat. (Das Supremum von A wird, wenn es existiert, mit sup A bezeichnet.
Entsprechend bezeichnet inf A das Infimum.)
(b ) Welches Element ist das Supremum der leeren Menge (nach der eben angegebenen
Definition)?
(c ) Geben Sie ein Beispiel für ein Poset an, in dem jede nichtleere Teilmenge ein Infimum
hat, es jedoch nichtleere Teilmengen gibt, die kein Supremum haben.
(d ) Sei (X, 4) ein Poset, in dem jede Teilmenge (einschließlich der leeren) ein Supremum
besitzt. Zeigen Sie, dass dann jede Teilmenge auch ein Infimum hat.
(e ) Beweisen Sie, das jede Teilmenge des Poset Bn = (2[n] , ⊆) sowohl ein Supremum als
auch ein Infimum hat.
Aufgabe 3 (§2.4, Nr. 1)
[4 Punkte]
(a ) T
Für i = 1, . . . , k sei 4i eine partielle Ordnung auf einer Menge X. Beweisen Sie, dass
k
i=1 4i wieder eine partielle Ordnung auf X ist.
(b ) Beweisen Sie, dass sich jede partielle Ordnung auf einer endlichen Menge X als
Schnitt von linearen Ordnungen von X schreiben lässt.
Aufgabe 4 (§2.4, Nr. 6)
[2 Punkte]
Wir betrachten zwei Folgen a = (a1 , . . . , an ) und b = (b1 , . . . , bn ) mit verschiedenen reellen
Zahlen. Zeigen Sie, dass es immer Indizes i1 , . . . , ik mit 1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ n und
k = dn1/4 e gibt, so dass die dadurch bestimmte Teilfolge sowohl in a als auch in b steigend
oder fallend ist (alle vier Kombinationen sind erlaubt, z.B. steigend in a, fallend in b“,
”
fallend in a, fallend in b“, usw.).
”
Aufgabe für das lehramtsspezifische Projekt (§1.3, Nr. 3)
[4 Punkte]
(a ) Stellen Sie sich vor, Sie zeichnen n Geraden in die Ebene, und zwar so, dass keine
zwei parallel sind und dass sich keine drei in einem gemeinsamen Punkt schneiden.
Zeigen Sie, dass die Ebene dadurch in exakt n(n + 1)/2 + 1 Teile zerschnitten wird.
(b ) Analog zur vorigen Übung: Wir betrachten n Ebenen im dreidimensionalen Raum,
von denen keine zwei parallel sind, keine drei sich in einer Geraden schneiden und keine vier einen gemeinsamen Punkt haben. In wieviele Gebiete zerteilen diese Ebenen
den Raum? Was können Sie über Verallgemeinerungen im Rd für beliebiges d ∈ N
sagen?