Numerische Mathematik 2 - Institut für Mathematik

Numerische Mathematik 2
(SoSe 2016)
2. Übungsblatt
Abgabe: 29.04.2016
Aufgabe 1
(a) Sei N = 2n und 0 ≤ j < N . Zeigen Sie, dass
lj (θ) =
sin n(θ − θj )
θ − θj
cot
N
2
ein trigonometrisches Polynom vom Grad n ist und dass
lj (θk ) = δjk ,
θk = 2πk/N, k = 0, . . . , N − 1.
(b) Sei f ∈ L2(0, 2π) eine 2π-periodische Funktion mit Fourierkoezienten αk . Zeigen Sie, dass die
Funktion f (· − s) für festes s ∈ R die Fourierkoezienten βk = e−iksαk hat.
Aufgabe 2
Die ansonsten stetige, 2π-periodische Funktion f habe eine Sprungstelle bei θ0 ∈ [0, 2π) mit f (θ0+) <
. Das Gibbs-Phänomen besagt, dass die Bestapproximation tn von f aus Tn (bezüglich L2) für
groÿe das tatsächliche Sprungintervall [f (θ0+), f (θ0−)] um etwa 9% in beide Richtungen überschätzt.
Weisen Sie das Gibbs-Phänomen exemplarisch für die Funktion f (θ) = θ (mit Sprungintervall [0, 2π]
bei θ0 = 0) nach: Zeigen Sie, dass
f (θ0 −)
n
Z
lim
inf
n→∞ θ∈(0,2π)
Hinweis:
tn (θ) = π − 2
0
π
sin τ
dτ ≈ −0.562.
τ
Betrachten Sie tn(%/n) für festes % > 0.
Prof. Dr. Roland Griesmaier
Julius-Maximilians-Universität
•
•
Dipl.-Math. Christian Schmiedecke
Institut für Mathematik
•
Emil-Fischer-Str. 30
•
97074 Würzburg
www.mathematik.uni-wuerzburg.de/∼griesmaier/teaching/NumerikII2016.html
Programmieraufgabe
Zur numerischen Approximation einer Funktion f : [0, 2π] → R wollen wir wie folgt vorgehen: Mit den
diskreten Fourierkoezienten
α̂k =
N −1
1 X
f (θj )e−ikθj ,
N
θj =
j=0
2πj
, N = 2p , k ∈ Z,
N
erhält man die Näherungspolynome
tn (θ) =
n
X
α̂k eikθ ,
k=−n
n<
N
.
2
Schreiben Sie ein Programm, welches zu gegebenem f die Näherungspolynome t0, t1, t4 und t10 berechnet und gemeinsam mit f in einem Schaubild plottet. Testen Sie Ihr Programm an den Beispielen
(a) f (θ) = θ,
(b) f (θ) = θ(2π − θ).
Prof. Dr. Roland Griesmaier
Julius-Maximilians-Universität
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Dipl.-Math. Christian Schmiedecke
Institut für Mathematik Emil-Fischer-Str. 30
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