Humboldt-Universität zu Berlin Institut für Mathematik Prof. Dr. Ulrich

Humboldt-Universität zu Berlin
Institut für Mathematik
Prof. Dr. Ulrich Horst
Dipl.-Math. Jana Bielagk
Dipl.-Math. Paulwin Graewe
Dipl.-Wirtsch.-Math. Oliver Janke
Stochastik (BA)
Übungsblatt 5
Wintersemester 2015/16
Aufgabe 1. Sei N eine Zufallsvariable, die Werte in N annimmt und für die E(N ) < +∞ gilt.
Zeigen Sie, dass
∞
X
E(N ) =
P(N ≥ i).
i=1
Aufgabe 2. Eine neue Kollektion Sammelbilder der Beatles ist auf dem Markt. Entsprechend
der Anzahl der Bandmitglieder (Paul McCartney, John Lennon, George Harrison und Ringo
Starr) gibt es vier verschiedene Motive. In jeder Packung befinden sich unabhängig von dem
Inhalt der anderen Packungen zwei Sammelbilder, wobei jedes Bild mit der gleichen Wahrscheinlichkeit ausgewählt wird (und somit auch zwei gleiche Bilder in einer Packung möglich sind). Sei
T die Anzahl der Packungen, die man kaufen muss, um einen Satz von allen vier Motiven zu
besitzen. Bestimmen Sie die Verteilung von T , indem Sie P(T = n) für n ≥ 1 berechnen.
Aufgabe 3. Sei X eine hypergeometrisch verteilte Zufallsvariable zu den Parametern N, K, n,
d.h.
N −K K
·
P(X = k) = k N n−k , k = 0, . . . , n.
n
Bestimmen Sie den Erwartungswert von X. (Bekannt ist diese Verteilung aus der Aufgabe 3.1.)
Hinweis: Verwenden Sie die folgende Identität:
K
K −1
k·
= K·
.
k
k−1
Besprechung: ab 23. November in den Übungen