PraMa: Stochastische Methoden WiSe 09/10

Prof. Dr. H. v. Weizsäcker
Dipl.-Math. Martin Anders
Übungsblatt 9
TU Kaiserslautern
23. Januar 2010
PraMa: Stochastische Methoden WiSe 09/10
Abgabe: 29.01.10
Aufgabe 1
a)
Es seien X und Y zwei unabhängige reelle Zufallsvariable mit den Dichten f und g . Ferner sei
Y fast sicher gröÿer als Null. Gib eine Formel für die Dichte von X
Y .
b)
Seien X1 , . . . , Xn unabhängige N (µ, σ 2 ) -verteilte Zufallsvariablen, s2 :=
√
(wie in der Vorlesung) und s := s2 . Zeige, dass die Verteilung von
√
1
n−1
Pn
i=1 (Xi
− X̄)2
n(X̄ − µ)
s
weder von µ noch von σ 2 abhängt und berechne mit Hilfe von Teil 1 a) ihre Dichte.
Diese Verteilung heiÿt Student- oder t-Verteilung mit n − 1 Freiheitsgraden und geht auf
W. Gosset (1876-1937) zurück, der unter dem Pseudonym Student veröentlichte.
Aufgabe 2
Die Laufzeit des Akkus eines Notebooks werde als N (µ, σ 2 ) -verteilte Zufallsvariable modelliert mit
µ > 0.
(Zum Nachdenken: Dieses Modell steht im Widerspruch zur Tatsache, dass Laufzeiten positiv sind.
Warum kann der Ansatz dennoch sinnvoll sein?)
a)
Es sei eine Stichprobe X1 , . . . , Xn gegeben. Gib mit Hilfe der Quantile der t-Verteilung einen
Test zum Signikanzniveau α (α ∈ (0, 1))
i) zur Hypothese µ = 5 mit Gegenhypothese µ 6= 5 mit einem Annahmebereich der Form
X̄
∈ (5 − cn,α , 5 + cn,α ) ,
s
ii) zur Hypothese µ ≤ 5 mit Gegenhypothese µ > 5 mit einem Annahmebereich der Form
b)
X̄
< 5 − bn,α .
s
Der Hersteller behauptet, dass die durchschnittliche Laufzeit mindestens 3,5 Stunden beträgt.
Bei einer Stichprobe X1 , . . . , X10 mit 10 Notebooks ergibt sich eine durchschnittliche Laufzeit
von X̄ = 3, 25 Stunden mit einer empirischen Streuung von s = 0, 31 Stunden. Kann die
Behauptung des Herstellers auf dem Signikanzniveau 5% verworfen werden?
Hinweis:
Das 95%-Quantil der t-Verteilung mit 9 Freiheitsgraden liegt bei 1,833.
Aufgabe 3
Seien W und R unabhängige reellwertige Zufallsvariablen, wobei W auf [0, 2π) uniform verteilt und
R2 exponentialverteilt zum Parameter 21 sei.
a)
Zeige, daÿ R cos W und R sin W unabhängig standardnormalverteilt sind.
b)
Schreibe eine Prozedur, die eine Folge von unabhängigen N (µ, σ 2 ) -verteilten Zufallszahlen
simuliert.
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Prof. Dr. H. v. Weizsäcker
Dipl.-Math. Martin Anders
TU Kaiserslautern
23. Januar 2010
Übungsblatt 9
Aufgabe 4
Eine Gumbel-Verteilung mit den Parametern µ ∈ R und σ > 0 hat die Verteilungsfunktion
Fµ,σ (x) = e−e
−
x−µ
σ
.
Es seien X1 , . . . , Xn unabhängig und identisch Gumbel-verteilte Beobachtungen.
Diese Verteilungsfamilie ist in der Extremwerttheorie wichtig.
a)
Berechnet auf Grundlage dieser Beobachtungen, unter Kenntnis von σ = 1, den MaximumLikelihood Schätzer für µ.
b)
Wie in 4 a) sei σ = 1, aber diesmal soll ein Schätzer
µ̂(X1 , . . . , Xn )
für µ mit der Methode
der Momente
bestimmt werden:
Findet µ̂ so, dass Eµ̂,1 (X) gleich dem empirischen Erwartungswert ist. Dabei sei Eµ̂,1 (X) der
Erwartungswert von X ∼ Fµ,1 als Funktion in µ bei µ̂.
Hinweis:
c)
E0,1 (X) = γ ≈ 0, 5772, die sogenannte Euler-Konstante .
Nun sei µ = 0 bekannt. Ist es sinnvoll, σ mit der Maximum-Likelihood Methode zu schätzen?
Wenn ja, gib den entsprechenden Schätzer an.
Pro Aufgabe gibt es maximal 4 von 4 Punkte.
Aufgaben in Klammern sind ausnahmslos Zusatzaufgaben und gehen nicht in die Bewertung ein.
Die Übungsblätter sind bis 14:00 Uhr des Abgabedatums in den Briefkasten eurer
entsprechenden Übungsgruppe einzuwerfen. Die Briefkästen benden sich im Erdgeschoss von Gebäude 48.
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