Einführung in die Topologie (SS 14) - math.uni

Einführung in die Topologie (SS 14)
Bernhard Hanke
Universität Augsburg
16.04.2013
Bernhard Hanke
1/8
Leonhard Euler
(*1707, † 1783)
Bernhard Hanke
Georg Cantor
(*1845, † 1918)
Felix Hausdorff
(*1868, † 1942)
2/8
Konvergenz
Definition
Es sei X ein topologischer Raum, (xn )n∈N eine Folge in X und x ∈ X .
Die Folge (xn ) konvergiert gegen x, falls für jede Umgebung U ⊂ X von x
ein N ∈ N existiert mit
xn ∈ U
für alle n ≥ N.
(Für jede Umgebung U von x liegt die Folge (xn ) schließlich in U).
Man schreibt dann
x = lim xn
n∈N
und sagt, x ist Grenzwert von (xn ).
Bernhard Hanke
Konvergenz
3/8
Definition
Es sei f : X → Y eine Abbildung zwischen topologischen Räumen und
x ∈ X . Wir sagen f ist stetig in x, falls für jede Umgebung V ⊂ Y von
f (x) das Urbild f −1 (V ) ⊂ X eine Umgebung von x ist.
Definition
Es sei f : X → Y eine Abbildung und x ∈ X . Wir sagen f ist folgenstetig
in x, falls für jede Folge (xn ) in X mit lim xn = x die Bildfolge (f (xn )) in
Y gegen f (x) konvergiert.
Proposition
Ist f stetig in x, so auch folgenstetig in x.
Bernhard Hanke
Konvergenz
4/8
Definition
Es sei X ein topologischer Raum und x ∈ X .
Eine Umgebungsbasis von x ist eine Menge B ⊂ P(X ) bestehend aus
Umgebungen von x, sodass jede Umgebung von x eine der speziellen
Umgebungen in B enthält.
Der Raum X erfüllt das erste Abzählbarkeitsaxiom, falls jeder Punkt x ∈ X
eine abzählbare Umgebungsbasis besitzt.
Jeder metrische Raum X erfüllt das erste Abzählbarkeitsaxiom:
Bx := {B1/n (x)| n ∈ N}
ist abzählbare Umgebungsbasis von x.
Proposition
Es sei X ein topologischer Raum und x ∈ X ein Punkt mit abzählbarer
Umgebungsbasis. Dann ist jede in x folgenstetige Abbildung f : X → Y
auch stetig in x.
Bernhard Hanke
Konvergenz
5/8
Definition
Eine gerichtete Menge ist eine Menge D mit einer partiellen Ordnung ≤,
so dass es für α, β ∈ D immer ein γ ∈ D gibt mit γ ≥ α und γ ≥ β.
Ist X ein topologischer Raum, so ist ein Netz in X eine Abbildung
φ : D → X , wobei D eine gerichtete Menge ist.
Definition
Es sei X ein topologischer Raum, x ∈ X und (xα )α∈D ein Netz in X .
Das Netz (xα ) konvergiert gegen x, falls es für jede Umgebung U ⊂ X von
x ein β ∈ D gibt mit xα ∈ U für alle α ≥ β. In diesem Fall schreiben wir
auch limα∈D xα = x.
Bernhard Hanke
Konvergenz
6/8
Definition
Eine Abbildung f : X → Y heißt netzstetig in x ∈ X , falls für jedes Netz
(xα ) in X mit lim xα = x das Bildnetz (f (xα )) gegen f (x) konvergiert.
Proposition
Es sei f : X → Y eine Abbildung zwischen topologischen Räumen X und
Y . Die Abbildung f ist genau dann stetig in x ∈ X , wenn sie netzstetig in
x ist.
Bernhard Hanke
Konvergenz
7/8
Proposition
Ist A ⊂ X Teilmenge eines topologischen Raumes, so besteht A genau aus
den Limiten von Netzen in A, die in X konvergieren.
Definition
Ein Häufungspunkt eines Netzes (xα ) in X ist ein Punkt x ∈ X , so dass
für jede Umgebung U ⊂ X von x das Netz häufig in U ist, d.h. für alle
α ∈ D existiert ein β ≥ α mit xβ ∈ U.
Definition
Sind D und E gerichtete Mengen, so nennen wir eine Abbildung h : E → D
final, falls für alle δ ∈ D ein η ∈ E existiert mit h(γ) ≥ δ für alle γ ≥ η.
Ein Unternetz eines Netzes φ : D → X ist eine Komposition φ ◦ h : E → X ,
wobei h : E → D eine finale Funktion ist. Wir schreiben auch (xh(γ) )γ∈E .
Proposition
Es sei (xα )α∈D ein Netz in X . Ein Punkt x ∈ X ist genau dann
Häufungspunkt dieses Netzes, falls ein Unternetz gegen x konvergiert.
Bernhard Hanke
Konvergenz
8/8