14. Mai

Einführung in die Topologie (SS 14)
Bernhard Hanke
Universität Augsburg
14.05.2013
Bernhard Hanke
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Lemma (Lemma von Urysohn)
Es sei X ein normaler topologischer Raum, F , G ⊂ X disjunkte
abgeschlossene Teilmengen. Dann gibt es eine stetige Funktion
f : X → [0, 1], die auf F konstant gleich 0 und auf G konstant gleich 1 ist.
Satz (Metrisierbarkeitssatz von Urysohn)
Es sei X ein topologischer Raum, der das zweite Abzählbarkeitsaxiom
erfüllt. Dann ist X genau dann metrisierbar, wenn er normal und
Hausdorffsch ist.
Satz (Erweiterungssatz von Tietze)
Es sei X ein normaler Raum und F ⊂ X eine abgeschlossene Teilmenge.
Ist f : F → R stetig, so existiert eine stetige Fortsetzung g : X → R von
f , d.h. g |F = f . Wir können außerdem erreichen, dass
supx∈F f (x) = supx∈X g (x) und inf x∈F f (x) = inf x∈X g (x).
Bernhard Hanke
Existenz reeller Funktionen, Metrisierbarkeit
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Kompaktifizierung
Definition
Es sei X ein topologischer Raum. Eine Kompaktifizierung von X ist ein
kompakter topologischer Raum Y zusammen mit einer topologischen
Einbettung f : X → Y (d.h. f induziert einen Homöomorphismus
f : X → f (X ) ⊂ Y ), so dass f (X ) dicht in Y liegt, d.h. f (X ) = Y .
Definition
Ein topologischer Raum X heißt lokalkompakt, falls jeder Punkt x ∈ X
eine kompakte Umgebung besitzt.
Beispiele
I
Die Räume Rn sind lokalkompakt.
I
Jeder diskrete topologische Raum ist lokalkompakt.
I
Ist (V , k · k) ein normierter reeller Vektorraum, so ist V genau dann
lokalkompakt, falls dim V < ∞.
Bernhard Hanke
Kompaktifizierung
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Es sei X ein lokalkompakter Hausdorffraum und
X + := X ∪ {∞},
wobei ∞ ∈
/ X . Wir definieren U ⊂ X + als offen, falls
I
U ⊂ X und U offen in X ist oder
I
∞ ∈ U und X \ U ⊂ X kompakt ist.
Proposition
Es sei X ein lokalkompakter Hausdorffraum. Dann ist X + mit der eben
definierten Topologie ein kompakter Hausdorffraum.
X + heißt Einpunktskompaktifizierung von X .
Ist X selbst kompakt, so trägt X + die Summentopologie von X und {∞}.
Bernhard Hanke
Kompaktifizierung
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Es ist (Rn )+ ≈ S n , denn die stereographische Projektion
S n \ {(0, . . . , 0, 1)} → Rn
(x1 , . . . , xn+1 ) 7→
1
(x1 , . . . , xn )
1 − xn+1
ist ein Homöomorphismus und:
Proposition
Es sei X ein lokalkompakter Hausdorffraum, Y ein kompakter
Hausdorffraum, p ∈ Y und X homöomorph zu Y \ {p}. Dann ist
X+ ≈ Y .
Bernhard Hanke
Kompaktifizierung
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Ist f : X → Y stetig, so definieren wir
f + : X + → Y + , f + |X = f , f + (∞) = ∞ .
f + ist nicht automatisch stetig.
Definition
Eine Abbildung f : X → Y zwischen topologischen Räumen heißt
eigentlich, falls das Urbild jeder kompakten Menge in Y unter f kompakt
in X ist.
Proposition
Ist f : X → Y eine stetige Abbildung zwischen lokalkompakten
Hausdorffräumen, so ist die induzierte Abbildung f + : X + → Y + genau
dann stetig, falls f eigentlich ist.
Bernhard Hanke
Kompaktifizierung
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