Lineare Algebra I (WS 12/13) - am Institut für Mathematik der

Lineare Algebra I (WS 12/13)
Bernhard Hanke
Universität Augsburg
18.12.2012
Bernhard Hanke
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Ringe
Definition
Es sei (R, +, 0, ·, 1) ein Ring.
I
Ein Element a ∈ R heißt Einheit in R oder invertierbar, falls ein b ∈ R
existiert mit ab = ba = 1.
I
Wir nennen R einen Körper, falls R kommutativ ist, falls 0 6= 1 und
falls jedes a ∈ R \ {0} eine Einheit in R ist.
Bemerkung
Ist R ein Ring und a ∈ R eine Einheit, so gibt es genau ein b ∈ R mit
ab = ba = 1. Wir bezeichnen dieses eindeutig bestimmte multiplikative
Inverse von a mit a−1 .
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Ringe: Beispiele
Beispiel
I
Die Einheiten im Ring Z sind die ganzen Zahlen ±1,
I
Die Ringe Q, R und C sind Körper, nicht jedoch der Ring Z,
I
Die Einheiten im Endomorphismenring End(V ) sind genau die
Automorphismen V → V ,
I
im Matrixring Mat(n, R) sind die Einheiten genau die invertierbaren
Matrizen, also diejenigen Matrizen A ∈ Rn×n , die einen
Isomorphismus Rn → Rn beschreiben. Wir bezeichnen die Menge der
invertierbaren Matrizen mit GL(n, R).
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Lemma
Es sei R ein Körper und a, b ∈ R. Falls a 6= 0 6= b, so gilt auch a · b 6= 0.
Mit anderen Worten: Jeder Körper ist ein nullteilerfreier Ring.
Definition
Wir nennen eine von Null und Eins verschiedene Zahl p ∈ N eine Primzahl,
falls für alle a, b ∈ Z gilt
p|(ab) ⇒ p|a ∨ p|b .
Die Liste der Primzahlen beginnt mit 2, 3, 5, 7, . . .. Primzahlen sind
Gegenstand von vielen ungelösten Fragen der Mathematik:
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Berühmte Vermutungen
I
Gibt es unendlich viele Primzahlzwillinge, also Paare (p, q) von
Primzahlen mit q = p + 2?
I
(Goldbachsche Vermutung) Kann jede gerade Zahl größer als 2 als
Summe zweier Primzahlen geschrieben werden?
Im Jahre 2012 bewies Terence Tao: Jede ungerade Zahl größer als 2
kann als Summe von fünf oder weniger Primzahlen dargestellt werden.
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Berühmte Vermutungen
I
Eine der großen ungelösten Fragen, die ebenfalls mit der Verteilung
der Primzahlen zu tun hat, ist die Riemannsche Vermutung: Die
Nullstellen s 6= −2, −4, −6, . . . der auf C \ {1} komplex
differenzierbar fortgesetzten Riemannschen Zetafunktion
ζ(s) :=
∞
X
1
falls Re(s) > 1
ns
n=1
haben alle den Realteil
1
2.
Bernhard Riemann
1826 (Breselenz) - 1866 (Selasca)
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Proposition
Der Ring Z/n ist genau dann ein Körper, falls n eine Primzahl ist.
Wir haben noch keine Methode, wie wir das Inverse von invertierbaren
Elementen in Z/n explizit berechnen.
Dieses Problem löst man mit dem Euklidischen Algorithmus. Zunächst
wiederholen wir Division mit Rest:
Proposition (Division mit Rest)
Es seien a, b ∈ N und b > 0. Dann existieren eindeutig bestimmte Zahlen
m, r ∈ N mit 0 ≤ r < b so dass
a = mb + r .
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Euklid
360 v. Ch. - 280 v. Ch.
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Euklidischer Algorithmus
Seien a, b ∈ N und a, b > 0.
Wir setzen r0 := b und erhalten durch wiederholte Anwendung der
Division mit Rest eine eindeutig bestimmmte Folge von Gleichungen
a = m 1 r0 + r1
r0 = m2 r1 + r2
r1 = m3 r2 + r3
..
.
rn−1 = mn+1 rn + 0
wobei r0 , . . . , rn 6= 0 und 0 < rk < rk−1 für alle 1 ≤ k ≤ n.
I
0 < rn < rn−1 < . . . < r1 < r0 = b. Insbesondere bricht der
Algorithmus wirklich ab.
I
rn ist der größte gemeinsame Teiler von a und b, also rn = ggT(a, b).
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Definition
Wir nennen zwei ganze Zahlen a und b teilerfremd, falls für alle n ∈ Z die
folgende Implikation gilt:
n|a ∧ n|b ⇒ n = ±1
Proposition
Zwei ganze Zahlen a, b ∈ Z sind genau dann teilerfremd, falls es x, y ∈ Z
gibt mit xa + yb = 1 und somit gilt [x] = [a]−1 in Z/b.
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Elementare Zeilenumformungen und Matrixmultiplikation
Definition
Es sei m ∈ N eine natürliche Zahl, λ ∈ R und 0 ≤ i0 , i1 , i2 ≤ m, wobei
i1 6= i2 .
I
Wir definieren Ti1 ,i2 := (tij ) ∈ Rm×m durch


1, falls (i, j) = (i1 , i2 ) oder (i, j) = (i2 , i1 ),
tij = 1, falls i = j und i, j 6= i1 , i2 ,


0 sonst.
I
Wir definieren Ri1 ,i2 (λ) := (rij ) ∈ Rm×m durch


1, falls i = j,
rij = λ, falls (i, j) = (i2 , i1 ),


0 sonst.
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Definition (Forsetzung)
I
Wir definieren Si0 (λ) := (sij ) ∈ Rm×m durch


λ, falls i = j = i0 ,
sij = 1, falls i = j und i, j 6= i0 ,


0 sonst.
Die so definierten qudratischen Matrizen nennen wir Elementarmatrizen
der Größe m.
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Proposition
Ist A ∈ Rm×n , so gilt:
I
Ti1 ,i2 · A ist die Matrix A, wobei die Zeilen i1 und i2 vertauscht wurden,
I
Ri1 ,i2 (λ) · A ist die Matrix A, wobei das λ-fache der i1 -ten Zeile zur
i2 -ten Zeile addiert wurde,
I
Si0 (λ) · A ist die Matrix A, wobei die i0 -te Zeile mit λ multipliziert
wurde.
Insbesondere sind die oben definierten Elementarmatrizen invertierbar.
Proposition
Es sei A ∈ Rn×n dann können wir A durch elementare Zeilenumformungen
in einem Matrix überführen, die auf der Diagonalen nur Nullen oder Einsen
stehen hat und sonst nur Nullen. Die Matrix A ist genau dann invertierbar,
wenn nach dieser Prozedur die Einheitsmatrix entsteht (also auf der
Diagonalen nur Einsen stehen).
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Proposition
Es sei A ∈ Rn×n .
a) A ist genau dann invertierbar, wenn A durch elementare
Zeilenumformungen in die Einheitsmatrix En überführt werden kann.
b) A−1 entsteht dadurch, dass man genau die gleichen
Zeilenumformungen auf die Einheitsmatrix En anwendet.
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