Lineare Algebra I (WS 12/13) - math.uni

Lineare Algebra I (WS 12/13)
Bernhard Hanke
Universität Augsburg
12.12.2012
Bernhard Hanke
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Restklassenringe
Wir konstruieren heute wichtige Ringe, die sogenannten Restklassenringe.
Definition
Sind x, y ∈ Z, so sagen wir, dass x die Zahl y teilt, falls es ein m ∈ Z mit
y = mx gibt. In diesem Fall schreiben wir x|y . Beachte, dass x|0 für alle
x ∈ Z gilt. Insbesondere haben wir 0|0.
Proposition
Auf N \ {0} definiert die Teilbarkeitsrelation eine Ordnungsrelation.
Bernhard Hanke
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Definition
Es sei X eine Menge und R ⊂ X × X eine Relation auf X .
I
Wir nennen R symmetrisch, wenn für alle x, y ∈ X die Eigenschaften
xRy und yRx äquivalent sind.
I
Wir nennen R eine Äquivalenzrelation, wenn R transitiv, reflexiv und
symmetrisch ist.
Äquivalenzrelationen werden oft mit dem Zeichen ∼ benannt, statt xRy
schreiben wir also x ∼ y .
Beispiel
I
Auf der Menge X der Hörer der Vorlesung Lineare
”
Algebra“ definieren wir eine Relation ∼ durch x ∼ y :⇔ x und y
”
haben das gleiche Geburtsdatum“. Dies ist eine Äquivalenzrelation.
I
Es sei X eine Menge. Dann erhält man durch die Setzung
x ∼ y :⇔ x = y eine Äquivalenzrelation auf X .
Bernhard Hanke
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Proposition
Es sei ∼ eine Äquivalenzrelation auf X . Für jedes x ∈ X sei
[x] := {y ∈ X | y ∼ x} ⊂ X
die Teilmenge der zu x äquivalenten Elemente in X . Dann gilt
I
Für alle x ∈ X ist [x] 6= ∅,
I
für x, y ∈ X gilt entweder [x] = [y ] oder [x] ∩ [y ] = ∅,
S
X = x∈X [x].
I
Definition
Es sei ∼ eine Äquivalenzrelation auf X .
I
Nach der Proposition zerlegt ∼ die Menge X in paarweise disjunkte
Teilmengen [x], x ∈ X . Diese nennen wir Äquivalenzklassen.
I
Wir bezeichnen die Menge der Äquivalenzklassen mit X /∼.
Bernhard Hanke
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Restklassenarithmetik
Wir betrachten nun die folgende Relation auf Z:
a ∼ b :⇔ n|(a − b).
Dies definiert eine Äquivalenzrelation und statt a ∼ b schreiben wir auch
a = b mod n.
I
Die Menge der Äquivalenzklassen wird mit Z/nZ oder auch Z/n
bezeichnet.
I
Die Äquivalenzklassen heißen Restklassen modulo n.
Die Menge Z/n hat genau n Elemente, nämlich die Restklassen
[0], [1], . . . [n − 1] und es gilt [x] = {x + kn|k ∈ Z}.
Proposition
Die Addition und Multiplikation auf Z induzieren Verknüpfungen auf Z/n.
Zusammen mit [0] als Nullelement und [1] als Einselement ist Z/n ein
kommutativer Ring mit 1.
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Bemerkung
In Z/n gelten also die Rechenregeln
x + y = x + y und x · y = xy .
Zum Beispiel ist [3] + [21] = [3] = [10] in Z/7.
Definition
Es sei (R, +, 0, ·, 1) ein kommutativer Ring mit Einselement. Wir nennen R
einen Körper, falls 0 6= 1 und falls für jedes a ∈ R \ {0} ein Element b ∈ R
existiert mit ba = 1.
Bemerkung
Ist R ein Ring und a ∈ R eine Einheit, so gibt es genau ein b ∈ R mit
ab = ba = 1. Wir bezeichnen dieses eindeutig bestimmte multiplikative
Inverse von a mit a−1 .
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Beispiel
I
Die Einheiten im Ring Z sind die ganzen Zahlen ±1,
I
Die Ringe Q, R und C sind Körper, nicht jedoch der Ring Z,
I
Die Einheiten im Endomorphismenring End(V ) sind genau die
Automorphismen V → V ,
I
im Matrixring Mat(n, Z) sind die Einheiten genau die invertierbaren
Matrizen, also diejenigen Matrizen A ∈ Rn×n , die einen
Isomorphismus Rn → Rn beschreiben.
Bernhard Hanke
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Lemma
Es sei R ein Köorper und a, b ∈ R. Falls a 6= 0 6= b, so gilt auch a · b 6= 0.
Mit anderen Worten: Jeder Körper ist ein nullteilerfreier Ring.
Definition
Wir nennen eine von Null und Eins verschiedene Zahl p ∈ N eine Primzahl,
falls für alle a, b ∈ Z gilt
p|(ab) ⇒ p|a ∨ p|b .
Proposition
Der Ring Z/n ist genau dann ein Körper, falls n eine Primzahl ist.
Bernhard Hanke
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Wir haben noch keine Methode, wie wir das Inverse von invertierbaren
Elementen in Z/n explizit berechnen.
Dieses Problem löst man mit dem Euklidischen Algorithmus. Zunächst
wiederholen wir Division mit Rest:
Proposition (Division mit Rest)
Es seien a, b ∈ N und b > 0. Dann existieren eindeutig bestimmte Zahlen
m, r ∈ N mit 0 ≤ r < b so dass
a = mb + r .
Bernhard Hanke
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