Blatt 3 - math.uni-hamburg.de
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JProf. Dr. Simon Lentner
Dr. E. Meir
Prof. C. Schweigert
Bereich Algebra und Zahlentheorie
FB Mathematik
Universität Hamburg
Algebra (Bachelor)
Wintersemester 2016/17
Blatt 3
Aufgabe 1 (4 Punkte)
Sei E/K eine Körpererweiterung und seien L1 und L2 Zwischenkörper von endlichem
Körpergrad über K. Zeigen Sie: gilt für die Körpergrade [L1 L2 : K] = [L1 : K] ∙ [L2 :
K], so folgt L1 ∩ L2 = K.
Aufgabe 2 (2+2 Punkte)
√ √
a) Sei E = Q( 2, 5). Berechnen Sie den Körpergrad [E : Q] von E über Q.
Hinweis: Benutzen Sie die Gradformel, um das Problem auf quadratische K örpererweiterungen zurückzuführen und bestimmen Sie zur Bestimmung der Körpergrade Minimalpolynome.
√
b) Liegt 3 2 in E?
Hinweis: indirekter Beweis: schließen Sie auf die Existenz eines Zwischenk örpers
und verwenden Sie die Gradformel, um einen Widerspruch herbeizuf ühren.
Aufgabe 3 (2+1+1+1 Punkte)
Sei R ein kommutativer Ring und a, b ∈ R. Wir sagen, a teilt b, in Zeichen a|b, wenn
es c ∈ R gibt, so dass b = ac, also wenn b ∈ (a). Zwei Elemente a, b ∈ R heißen
∧
assoziiert, in Zeichen a = b, falls a|b und b|a gilt.
Sei nun R ein Integritätsring. Zeigen Sie:
a) Zwei Elemente a, b ∈ R sind assoziiert, genau dann wenn es eine Einheit ∈ R×
gibt, so dass b = a.
b) Zeigen Sie, dass assoziiert sein eine Äquivalenzrelation auf R definiert.
c) Bestimmen Sie die Äquivalenzklassen assoziierter Elemente für den Ring R =
Z.
d) Zeigen Sie: die Einheitengruppe des Rings
Z[i] := {a + bi |a, b ∈ Z}
ist {±1, ±i}. Geben Sie die Struktur dieser Gruppe im Sinne des Hauptsatzes
über endlich erzeugte abelsche Gruppen an.
Aufgabe 4 (1+1 Punkte)
a) Sei R ein Integritätsring mit Einheitengruppe R× . Bestimmen Sie die Einheitengruppe des Polynomrings R[X]. Diskutieren Sie kurz die Einheitengruppen
der Polynomringe R[X] für R = Z, R = Z[i] = {a + bi | a, b ∈ Z} und wenn R
ein Körper ist.
1
b) Zeigen Sie: Ist ein Ring R integer, so auch der Ring R[X] der Polynome mit
Koeffizienten in R.
Aufgabe 5 (2+2+1 Punkte)
Die Charakteristik eines Körpers K ist die kleinste natürliche Zahl p, so dass die pfache Summe 1| + 1 +{z. . . + 1} = 0 verschwindet. (So hat der Körper mit 2 Elementen
p−mal
0, 1) Charakteristik 2. Für den Körper Q der rationalen Zahlen gibt es keine solche
Zahl, man sagt, er habe Charakteristik Null.)
Sei K Körper positiver Charakteristik p.
a) Zeigen Sie, dass die Charakteristik des Körpers K eine Primzahl ist.
b) Zeigen Sie: Es gilt
(x + y)p = xp + y p
c) Folgern Sie: die Abbildung f : x 7→ xp ist injektiver Körper-Homomorphismus
von K nach K.
Abgabe der Lösungen in der Vorlesung am Freitag, dem 11.11.2016. Besprechung
in den nachfolgenden Übungsgruppen. Sie können in Kleingruppen von höchstens
drei Studierenden abgeben.
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