Forschungszentrum Karlsruhe Universität Karlsruhe

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Universität Karlsruhe
Mathematische Grundlagen der Physik
PD Dr. W. Wenzel/Dr. A. Zaikin
Ü: Dr. habil. W. Lang
Sommersemester 2008
Inhalt der Saalübung 2 vom Montag, den 28. April 2008
A) Folgerung aus den Körperaxiomen:
1. Nullteilerfreiheit (NF): a b = 0 ⇒ a = 0 ∨ b = 0 .
2. −(−a) = a.
3. Der einfachste Körper? Charakteristik eines Körpers.
Falls man im Axiom B3) 1 6= 0 voraussetzt, wie hier auf Seite 2 geschehen, (um den sonst
existierenden trivialen Einelemtkörper {0 = 1} auszunehmen), dann ist der einfachste
Körper der mit zwei Elementen: Z2 := {0, 1}. Die Addition ist diejenige modulo 2 und
die Multiplikation 0 · 0 = 0, 0 · 1 = 0 = 1 · 0, 1 · 1 = 1.
Die Charakteristik eines Körpers K ist diejenige kleinste Zahl k ∈ N0 := N ∪ {0} mit
1| + 1...
{z + 1} = 0.
k mal
Also hat der Körper Z2 (besser notiert als Z/2Z) Charakteristik k = 2.
Da N0 ⊂ R, folgt, mit der Nullteilerfreiheit im Körper, aus k 1 = 0 wegen 1 6= 0, dass
k = 0 ist. Also hat jeder Körper der N umfasst die Charakteristik k = 0.
B) Folgerung aus den Anordnungsaxiomen:
√
√
√
1. a > 0, b > 0 : a ≤ b ⇒ a ≤ b (Monotonie der −Funktion ).
Wurde gezeigt per Widerspruchsbeweis mit dem Lemma:
Blatt
3):
√ 2, Aufgabe
√
√
2
2
0 ≤ c < d ⇒ c := c c < d . Auch 0 ≤ a ≤ b ⇒ a ≤ b, wobei 0 := 0.
2. (a1 b1 + a2 b2 )2 ≤ (a21 + a22 ) (b21 + b22 ) (Spezialfall der Cauchy-Schwarz-Ungleichung).
Summennotation und Einsteinsche Summenkonvention erklärt. Check ob beide Seiten
definiert sind. Verwende Monotonie der Wurzelbildung (s.o.). Behandle erst triviale
Fälle. Verwende als Lemma die Dreiecksungleichung (Folgerung aus der Definition
des Betrags |.|). Weiteres Lemma (Blatt 3, Aufgabe 1)c)), die mit einem Spezialfall der
AGM-Ungleichung (arithmetisches - geometrisches Mittel - Ungleichung) äquivalent
√
ist: a1 a2 ≤ (a1 + a2 )/2 . (Setze a1 = a2 ≥ 0 und a2 = b2 ≥ 0 und verwende Eigenschaft der Wurzel.)
C) Schranken, Sup, Inf, Max und Min: (nicht gemacht)
Untersuchen Sie die Menge
A := {1 − ((−1)n )/n | n ∈ N} .
auf Beschränktheit. Gibt es Sup A, Inf A, M ax A, M in A, M ax A? Wenn ja, welches
sind diese Schranken?
Lösung: an := 1 − ((−1)n )/n . a2 k = (2 k −1)/(2 k) < 1, a2 k+1 = (2 (k +1))/(2 k +1) >
/ A, sonst n−1 = 0,
1, mit k ∈ N. Die Folge {an }∞
1 schnürt 1 von oben und unten ein. 1 ∈
aber mit n > 0 ist n−1 > 0.
Da gilt A 6= ∅ und A ⊂ Q ⊂ R, sind Schranken definiert.
Es ist Γ = sup(A) = a1 = 2 und γ = inf (A) = a2 = 1/2 (da die Teilfogen mit
geraden bzw. ungeraden Indizes, mit zunehmendem Index zu- bzw. abnehmen). Die Folge
{an } konvergiert nach 1, wie man später, im Folgenkapitel, sagen wird.
Da Γ ∈ A, ist M ax(A) = Γ = 2 und da γ ∈ A, ist M in(A) = γ = 1/2.
Fortsetzung auf Seite 2 mit Axiomen der Gleichheit und des Körpers
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Sommersemester 2008
-2D Körperaxiome
Vorausgesetz werden die Axiome der Gleichheit G (=) für Elemente von K (hier R, Körper
der reellen Zahlen):
G1) a = b ∨ a 6= b.
G2) a = a (Reflexivität).
G3) ∃ a, b : a 6= b, (o.k. da K 6= {0 = 1}).
G4) Wenn a = b, dann kann in allen Gleichungen und Ungleichungen a durch b ersetzt
werden und umgekehrt.
Folgerungen:
S) a = b ⇒ b = a, (Symmetrie),
T) a = b ∧ b = c ⇒ a = c, (Transitivität).
Definition einer Äquivalenzrelation: G2), S) und T).
Körperaxiome:
Elemente von K: a, b, c, ..., x, y, ..., genannt Zahlen.
Es gibt zwei Verknüpfungen, Addition und Multiplikation , die je zwei Zahlen a und b
die Zahlen a + b (Addition) und a b (oder b a) (Multiplikation) so zuordnen, dass - für
beliebige Elemente von K - die folgenden Regeln A, B und C gelten:
A) Axiome der Addition
A1) (a + b) + c = a + (b + c). Assoziativgesetz.
A2) a + b = b + a. Kommutativgesetz.
A3) Es gibt eine (eindeutig bestimmte) Zahl (bezeichnet mit 0) mit der Eigenschaft:
a + 0 = a für alle a ∈ K . Neutrales Element der Addition.
A4) Zu jeder Zahl a ∈ K gibt es eine (eindeutig bestimmte) Zahl (bezeichnet mit −a)
mit der Eigenschaft a + (−a) = 0. (Man nennt −a die zu a negative Zahl“.)
”
B) Axiome der Multiplikation
B1) (a b) c = a(b c). Assoziativgesetz.
B2) a b = b a. Kommutativgesetz.
B3) Es gibt eine (eindeutig bestimmte) Zahl 6= 0 (bezeichnet mit 1) mit a 1 = a für alle
a ∈ K.
B4) Zu jeder Zahl a 6= 0 gibt es eine (eindeutig bestimmte) Zahl a−1 ∈ K mit a a−1 = 1.
a−1 heißt die zu a reziproke Zahl“.
”
C) a (b + c) = a b + a c . Distributivgesetz.
Eine Menge K, die A, B und C erfüllt heißt Körper (engl. field).
Folgende Schreibweisen werden definiert:
a − b = a + (−b),
a
= a/b = a b−1 .
b
Wegen der Assoziativität kann man schreiben:
Pn
Für Summen mehrerer Terme: a1 + a2 + ... + an =:
i=1 ai ,
Qn
Für Produkte mehrerer Faktoren: a1 a2 ... an =: i=1 ai ,
an := a
... a} für n ∈ N, (a 6= 0)
| a{z
n mal
−1 −1
−1
a−n := a
| a {z... a } für n ∈ N, (a 6= 0) . 1 · 2 · 3... · n =: n! (Fakultät von n).
n mal