Einführung in die Topologie (SS 14) - math.uni

Einführung in die Topologie (SS 14)
Bernhard Hanke
Universität Augsburg
28.05.2014
Bernhard Hanke
1/9
Homotopie
Definition
Es seien f , g : X → Y stetig. Wir sagen f ist homotop zu g (geschrieben
f ' g ), falls es eine stetige Abbildung
H : X × [0, 1] → Y
gibt mit H(−, 0) = f und H(−, 1) = g .
Proposition
I
I
Die Relation f ist homotop zu g“ ist eine Äquivalenzrelation.
”
Es seien f , g : X → Y , h : X 0 → X und k : Y → Y 0 stetige
Abbildungen. Gilt f ' g , so auch f ◦ h ' g ◦ h und k ◦ f ' k ◦ g .
Bernhard Hanke
Homotopie
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Beispiele
I
Es sei Y ⊂ Rn konvex. Dann sind zwei Abbildungen f , g : X → Y
immer homotop mittels der linearen Homotopie
H(x, t) := tg (x) + (1 − t)f (x).
I
Ist X = {p} einpunktig, so sind Homotopien H : X × [0, 1] → Y
nichts anderes als Wege γ = H(p, −) in Y zwischen H(p, 0) und
H(p, 1).
Sind γ, η : [0, 1] → Y Wege mit γ(1) = η(0), so ist der
zusammengesetzte Weg γ · η : [0, 1] → Y definiert durch
(
γ(2t) ,
0 ≤ t ≤ 1/2
t 7→
η(2t − 1) , 1/2 ≤ t ≤ 1.
Erst γ, dann η.“
”
Bernhard Hanke
Homotopie
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Definition
Eine stetige Abbildung f : X → Y ist eine Homotopieäquivalenz, falls ein
stetiges g : Y → X existiert mit g ◦ f ' idX und f ◦ g ' idY .
Dann heißt g Homotopieinverses zu f .
Existiert eine Homotopieäquivalenz X → Y , so nennen wir X und Y
homotopieäquivalent, geschrieben X ' Y .
Die Relation X und Y sind homotopieäquivalent“ ist eine
”
Äquivalenzrelation auf der Klasse der topologischen Räume.
Ihre Äquivalenzklassen nennt man Homotopietypen.
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Homotopie
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Definition
Ein topologischer Raum heißt kontrahierbar, wenn er homotopieäquivalent
zum einpunktigen Raum ist.
Lemma
Es sei X ein topologischer Raum und Y ein kontrahierbarer topologischer
Raum. Dann sind alle stetigen Abbildungen X → Y homotop.
Proposition
Die Sphären S n ⊂ Rn+1 sind nicht kontrahierbar.
Bernhard Hanke
Homotopie
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Definition
Es sei X ein topologischer Raum und A ⊂ X . Wir nennen A
I
Retrakt von X , falls es eine Retraktion r : X → A gibt,
d.h. r ist stetig und r |A = idA .
I
Deformationsretrakt von X , falls es eine Retraktion r : X → A gibt,
so dass i ◦ r ' idX . Dabei ist i : A → X die Inklusion.
I
starken Deformationsretrakt von X , falls es eine Retraktion r : X → A
gibt, so dass i ◦ r ' idX mittels einer Homotopie, die die Punkte in A
nicht bewegt.
Ist A ⊂ X ein Deformationsretrakt, so sind A und X homotopieäquivalent.
Bernhard Hanke
Homotopie
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Beispiel
Es sei f : X → Y stetig.
Dann ist Y ein starker Deformationsretrakt des Abbildungszylinders
Zf = Y ∪f0 X × [0, 1].
Eine Deformationsretraktion ist durch die Homotopien
H1 : Y × [0, 1] → Y , (y , t) 7→ y
und
H2 : (X × [0, 1]) × [0, 1] → X × [0, 1] , ((x, s), t) 7→ (x, s(1 − t))
gegeben.
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Homotopie
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Die Fundamentalgruppe
Definition
Es seien f , g : X → Y stetig und A ⊂ X .
Wir nennen f und g homotop relativ zu A (geschrieben f ' g rel A),
falls es eine Homotopie H : X × [0, 1] → Y von f nach g gibt mit
H(a, t) = H(a, 0) für alle a ∈ A, t ∈ [0, 1].
A ⊂ X ist genau dann ein starker Deformationsretrakt, falls idX : X → X
homotop relativ zu A zu einer Abbildung f : X → X mit f (X ) = A ist.
Lemma (Reparametrisierungslemma)
Es seien φ1 , φ2 : [0, 1] → [0, 1] stetig und auf {0, 1} gleich.
Es sei F : P × [0, 1] → Y eine Homotopie.
Setzen wir Gi (p, t) := F (p, φi (t)), so sind
G1 , G2 : P × [0, 1] → Y
homotop relativ zu P × {0, 1}.
Bernhard Hanke
Die Fundamentalgruppe
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Es sei X ein topologischer Raum und x0 ∈ X ein fest.
(x0 nennt man Basispunkt, (X , x0 ) einen punktierten Raum.)
Wir definieren
π1 (X , x0 )
als die Menge aller geschlossenen Wege γ : [0, 1] → X mit
γ(0) = γ(1) = x0 modulo der Äquivalenzrelation
γ1 ∼ γ2 :⇔ γ1 ' γ2 rel{0, 1} ,
Proposition
Die Verknüpfung
(γ1 , γ2 ) 7→ γ1 · γ2
induziert eine Gruppenstruktur auf π1 (X , x0 ).
Definition
π1 (X , x0 ) heißt Fundamentalgruppe von (X , x0 ).
Bernhard Hanke
Die Fundamentalgruppe
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