Einführung in die Topologie (SS 14) - math.uni

Einführung in die Topologie (SS 14)
Bernhard Hanke
Universität Augsburg
2.6.2014
Bernhard Hanke
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Der Mathematisch-Physikalische Verein der Universität Augsburg e.V. präsentiert
“Possibly the best math movie you haven’t seen.”
– Science Friday –
colors of math
Ein Film von Ekaterina Eremenko
SFB Discretization in Geometry and Dynamics, Berlin
3. Juni 2014, 18 Uhr
Liliom-Filmtheater, Unterer Graben 1, 86152 Augsburg
Der Eintritt ist frei.
Im Anschluss an den einstündigen Film findet ein Gespräch mit der Regisseurin statt.
Bernhard Hanke
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Die Fundamentalgruppe
Definition
Es seien f , g : X → Y stetig und A ⊂ X .
Wir nennen f und g homotop relativ zu A (geschrieben f ' g rel A),
falls es eine Homotopie H : X × [0, 1] → Y von f nach g gibt mit
H(a, t) = H(a, 0) für alle a ∈ A, t ∈ [0, 1].
A ⊂ X ist starker Deformationsretrakt ⇐⇒ idX : X → X ist homotop
relativ zu A zu einer Abbildung f : X → X mit f (X ) = A.
Lemma (Reparametrisierungslemma)
Es seien φ1 , φ2 : [0, 1] → [0, 1] stetig und auf {0, 1} gleich.
Es sei F : P × [0, 1] → Y eine Homotopie, Gi (p, t) := F (p, φi (t)).
Dann sind
G1 , G2 : P × [0, 1] → Y
homotop relativ zu P × {0, 1}.
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Die Fundamentalgruppe
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Es sei X ein topologischer Raum und x0 ∈ X ein fest.
(x0 nennt man Basispunkt, (X , x0 ) einen punktierten Raum.)
Wir definieren
π1 (X , x0 )
als die Menge aller geschlossenen Wege γ : [0, 1] → X mit
γ(0) = γ(1) = x0 modulo der Äquivalenzrelation
γ1 ∼ γ2 :⇔ γ1 ' γ2 rel{0, 1} ,
Proposition
Die Verknüpfung
(γ1 , γ2 ) 7→ γ1 · γ2
induziert eine Gruppenstruktur auf π1 (X , x0 ).
Definition
π1 (X , x0 ) heißt Fundamentalgruppe von (X , x0 ).
Bernhard Hanke
Die Fundamentalgruppe
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Henri Poincaré
(*1854, † 1912)
Bernhard Hanke
Die Fundamentalgruppe
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P = {p} einpunktig, dann π1 (P, p) = 1 .
π1 (X , x0 ) hängt nur von der Wegekomponenten von X ab, die x0 enthält.
Proposition
Es seien x0 , x1 ∈ X . Jeder Weg η : [0, 1] → X von x0 nach x1 induziert
einen Isomorphismus
ψη : π1 (X , x0 ) ∼
= π1 (X , x1 ) ,
[γ] 7→ [η −1 · γ · η] .
Es gilt ψη = ψη0 , falls η ' η 0 rel{0, 1}.
Ist η 0 ein zweiter Weg von x0 nach x1 , so ist
κ := [(η 0 )−1 · η] ∈ π1 (X , x0 )
und für alle g ∈ π1 (X , x0 ) gilt
ψη0 (g ) = κ · ψη (g ) · κ−1 ∈ π1 (X , x1 ) .
Somit gilt im allgemeinen ψη 6= ψη0 , falls π1 (X , x1 ) nicht abelsch ist.
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Die Fundamentalgruppe
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Beispiele
I
I
I
π1 (S 1 , 1) ∼
= Z.
2
π1 (RP , x0 ) ∼
= Z/2Z (mit x0 ∈ RP 2 beliebig).
Sei G eine beliebige Gruppe. Es gibt einen Simplizialkomplex X mit
Basispunkt x0 ∈ X , so dass π1 (X , x0 ) ∼
= G.
Es seien (X , x0 ) und (Y , y0 ) punktierte Räume. Eine stetige Abbildung
f : X → Y heißt basispunkterhaltend oder punktiert, falls f (x0 ) = y0 .
Für solche f definieren wir
f∗ : π1 (X , x0 ) → π1 (Y , y0 ) ,
Bernhard Hanke
f∗ ([γ]) := [f ◦ γ].
Die Fundamentalgruppe
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Proposition
f∗ : π1 (X , x0 ) → π1 (Y , y0 ) ist ein Gruppenhomomorphismus.
Sind f : (X , x0 ) → (Y , y0 ) und g : (Y , y0 ) → (Z , z0 ) punktierte stetige
Abbildungen, so gilt
(g ◦ f )∗ = g∗ ◦ f∗ .
Für idX : X → X ist
idX∗ = idπ1 (X,x0 ) .
Sind f , g : X → Y punktierte stetige Abbildungen und f ' g rel{x0 }, so ist
f∗ = g∗ .
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Die Fundamentalgruppe
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Definition
Wir nennen einen topologischen Raum X einfach zusammenhängend, falls
X wegzusammenhängend ist und π1 (X , x0 ) = 1 für ein (und damit für
alle) x0 ∈ X .
Beispiel
S 1 ist nicht einfach zusammenhängend.
Proposition
Ist X zusammenziehbar, so ist X einfach zusammenhängend.
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Die Fundamentalgruppe
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