Einführung in die Topologie (SS 14)
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Einführung in die Topologie (SS 14)
Bernhard Hanke
Universität Augsburg
16.6.2014
Bernhard Hanke
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Satz (Homotopie-Liftungstheorem)
Es sei p : X → Y eine Überlagerung und
F : W × [0, 1] → Y
eine Homotopie. Sei f˜ : W → X eine Liftung von F (−, 0), d.h.
p◦e
f = F (−, 0).
Dann existiert eine Homotopie
Fe : W × [0, 1] → X
mit Fe (−, 0) = e
f und p ◦ Fe = F .
Bernhard Hanke
Überlagerungen
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Folgerung
Es seien γ0 , γ1 Wege in Y mit γ0 ' γ1 rel{0, 1}.
Es seien γ
e0 , γ
e1 : [0, 1] → X Liftungen von γ0 und γ1 mit den gleichen
Anfangspunkten x0 ∈ X .
Dann gilt γ
e0 (1) = γ
e1 (1) und γ
e0 ' γ
e1 rel{0, 1}.
Folgerung
Es sei γ : [0, 1] → Y ein geschlossener Weg homotop zu einem konstanten
Weg rel{0, 1}.
Dann ist jeder Lift γ
e : [0, 1] → X auch ein geschlossener Weg und
homotop zu einem konstanten Weg rel{0, 1}.
Bernhard Hanke
Überlagerungen
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Folgerung
Es sei Y ein wegzusammenhängend,
p : X → Y eine wegzusammenhängende nichttriviale Überlagerung.
Ist y0 ∈ Y , so gilt π1 (Y , y0 ) 6= 1.
Die kanonische Projektion S 2 → RP 2 = S 2 / ∼ ist eine Überlagerung.
Folglich hat RP 2 nichttriviale Fundamentalgruppe.
S 2 ist einfach zusammenhängend.
Folgerung
RP 2 ist nicht homöomorph zu S 2 .
Bernhard Hanke
Überlagerungen
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Die Exponentialabbildung
p : R → S 1 , t 7→ e 2πit ,
ist eine Überlagerung.
Es sei f : [0, 1] → S 1 ein geschlossener Weg mit f (0) = f (1) = 1 ∈ S 1 .
Es sei e
f : [0, 1] → R die Liftung von f mit e
f (0) = 0.
Wir erhalten
deg : π1 (S 1 , 1) → Z ,
deg f := e
f (1) ∈ Z .
Proposition
Die Abbildung deg ist ein Gruppenisomorphismus.
Bernhard Hanke
Überlagerungen
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Stetige Abbildungen f : S 1 → S 1 mit f (1) = 1 können als geschlossene
Wege [0, 1] → S 1 aufgefasst werden.
Dann heißt deg f ∈ Z der Abbildungsgrad von f .
Proposition
Die Abbildung S 1 → S 1 , z 7→ z n hat Abbildungsgrad n für alle n ∈ Z.
f induziert auch eine Abbildung
f∗
→
π1 (S 1 , 1) ∼
f∗ : Z ∼
= Z.
= π1 (S 1 , 1) −
Es gilt deg f = f∗ (1) ∈ Z.
Folgerung (Fundamentalsatz der Algebra)
Es sei P ein nicht-konstantes Polynom mit komplexen Koeffizienten. Dann
hat P eine Nullstelle in C.
Bernhard Hanke
Überlagerungen
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