Einführung in die Topologie (SS 14) - math.uni

Einführung in die Topologie (SS 14)
Bernhard Hanke
Universität Augsburg
19.05.2013
Bernhard Hanke
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Es sei X ein normaler Hausdorffraum, C die Menge der stetigen
Abbildungen X → [0, 1] und betrachten die stetige Abbildung
Y
f :X →
[0, 1], x 7→ (φ(x))φ∈C
φ∈C
in das über C indizierte topologische Produkt von Einheitsintervallen [0, 1].
Lemma
Die Abbildung f ist eine topologische Einbettung.
Es sei
βX := f (X ) ⊂
Y
[0, 1]
φ∈C
der Abschluss des Bildes von X unter f . Als abgeschlossene Teilmenge
eines kompakten Raumes ist βX kompakt.
Definition
Die Abbildung f : X → βX heißt Stone-Čech-Kompaktifizierung von X .
Bernhard Hanke
Kompaktifizierung
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Proposition
Es sei X ein normaler Hausdorffraum, K ein kompakter Hausdorffraum
und φ : X → K eine stetige Abbildung. Dann faktorisiert φ in eindeutiger
Weise über die Stone-Čech-Kompaktifizierung, das heißt es gibt eine
eindeutig bestimmte stetige Abbildung ψ : β(X ) → K mit
ψ ◦ β = φ.
β(R)
w
Bernhard Hanke
Kompaktifizierung
'
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Quotientenräume (Verklebung von Räumen),
Simplizialkomplexe
Sei X ein topologischer Raum, Y eine Menge und f : X → Y eine
surjektive Abbildung.
Die Quotiententopologie oder auch Finaltopologie auf Y bzgl. f ist die
feinste Topologie, so dass f stetig ist.
Darin ist eine Teilmenge U ⊂ Y offen genau dann, falls f −1 (U) ⊂ X offen
ist.
Eine surjektive Abbildung f : X → Y zwischen topologischen Räumen
heißt Identifizierung, falls die Topologie auf Y genau die Finaltopologie
bezüglich f ist.
Bernhard Hanke
Quotientenräume, Simplizialkomplexe
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Proposition
I
Die Komposition von Identifizierungen ist wieder eine Identifizierung.
I
Eine surjektive Abbildung f : X → Y ist genau dann eine
Identifizierung, falls folgendes gilt:
Ist Z ein topologischer Raum und g : Y → Z eine Abbildung, so ist g
genau dann stetig, falls g ◦ f : X → Z stetig ist.
Sei ∼ eine Äquivalenzrelation auf einem topologischen Raum X . Die
Menge X / ∼ versehen mit der Quotiententopologie (bzgl. der kanonischen
Abbildung X → X / ∼) heißt Quotientenraum.
Quotientenräume von kompakten (zusammenhängenden,
wegzusammenhängenden) Räumen sind ebenfalls kompakt
(zusammenhängend, wegzusammenhängend).
Bernhard Hanke
Quotientenräume, Simplizialkomplexe
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Ist X ein Hausdorffraum, so muss der Quotientenraum X / ∼ nicht
Hausdorffsch sein (betrachte z.B. x ∼ y ⇔ x − y ∈ Q auf X := R).
Ist A ⊂ X nichtleer, so bezeichnet X /A den Quotientenraum bzgl.
x, y ∈ A oder
x ∼y ⇔
(x ∈
/ A oder y ∈
/ A) und x = y .
Die Äquivalenzklassen sind A und die einpunktigen Mengen {x} mit
x ∈ X \ A.
Proposition
Ist X ein normaler Hausdorffraum und A ⊂ X abgeschlossen, so ist X /A
ebenfalls normal und Hausdorffsch.
Bernhard Hanke
Quotientenräume, Simplizialkomplexe
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