Lineare Algebra I (WS 12/13) - math.uni

Lineare Algebra I (WS 12/13)
Bernhard Hanke
Universität Augsburg
6.11.2012
Bernhard Hanke
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Satz (Basisergänzungssatz)
Es sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum der Dimension n und
(v1 , . . . , vk ) eine linear unabhängige Familie. Dann gilt:
I
k ≤ n.
I
Falls k = n, so ist die gegebene Familie bereits eine Basis von V .
I
Falls k < n, so lässt sich diese Familie durch weitere Vektoren
vk+1 , . . . , vn ∈ V zu einer Basis von V ergänzen.
Folgerung
Es sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum und W ⊂ V ein
Untervektorraum. Dann ist auch W endlichdimensional und es gilt
dim W ≤ dim V . Falls dim W = dim V , so ist W = V .
Bemerkung
Der letzte Teil des Korollars gilt nicht für unendlichdimensionale
Vektorräume. Auf dem Übungsblatt findet sich ein Gegenbeispiel dazu.
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Basisergänzungssatz (Fortsetzung)
Beispiel
Da die Lösungsmengen homogener Gleichungssysteme mit n
Unbestimmten Untervektorräume des Rn sind, sind diese Lösungsmengen
endlichdimensional und haben Dimension ≤ n.
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Zeilenrang einer Matrix
Definition
Wir definieren den Zeilenrang einer Matrix A, geschrieben ZRang (A) als
die Dimension des von den Zeilenvektoren aufgespannten
Untervektorraums des Rn .
Proposition
Elementare Zeilenumformungen von A verändern den Zeilenrang
ZRang (A) nicht.
Insbesondere gilt: Wenn wir A auf Zeilenstufenform gebracht haben und
diese aus r Zeilen ungleich 0 besteht, so haben wir r = ZRang (A).
Beispiel




1 2 1
1 2
1
A =  2 3 0  ∼  0 −1 −2  =⇒ ZRang (A) = 2
3 5 1
0 0
0
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Zeilenrang einer Matrix (Forsetzung)
Proposition
Ist ein homogenes lineares Gleichungssystem gegeben und bringen wir
dieses auf Zeilenstufenform, so hängt die Anzahl der Pivotelemente nur
vom linearen Gleichungssystem ab, aber nicht von der speziell
konstruierten Zeilenstufenform.
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Gauß Verfahren und Basen
Sei (v1 , . . . , vk ) ein Erzeugendensystem eines Untervektorraumes V ⊂ Rn .
Wie findet man eine Teilfamilie, die eine Basis ist?
I
Hierzu löst man das Gleichungssystem λ1 v1 + · · · + λk vk = 0 mittels
des Gauß’schen Verfahrens.
I
Nichttriviale Lösungen =⇒ man findet einen Vektor vj , 1 ≤ j ≤ k, der
sich als Linearkombination der verbleibenden Vektoren ausdrücken
lässt.
I
Dann wiederholt man das Verfahren mit der Teilfamilie
(v1 , . . . , vk ) \ {vj }.
Bemerkung
Man kann auch eine linear unabhängige Familie (v1 , . . . , vk ) des Rn zu
einer Basis von V mit Hilfe des Gauß’schen Verfahrens ergänzen.
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Unendlichdimensionale Vektorräume
Aus dem Basisauswahlsatz folgt, dass jeder endlichdimensionale
Vektorraum eine Basis besitzt. Dies gilt auch für beliebige Vektorräume.
Hierfür benötigen wir einige Grundbegriffe aus der Mengenlehre:
Definition
Es sei R ⊂ X × X eine Relation auf einer Menge X .
I
R heißt reflexiv, wenn für alle x ∈ X die Relation xRx erfüllt ist.
I
R heißt transitiv, wenn für alle x, y , z ∈ X :
xRy ∧ yRz =⇒ xRz.
I
R heißt antisymmetrisch, falls für x, y ∈ X :
xRy ∧ yRx ⇐⇒ x = y .
I
R heißt (partielle) Ordnung, falls R reflexiv, transitiv und
antisymmetrisch ist.
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Geordnete Mengen
Ordnungen werden oft mit dem Zeichen ≤ benannt. Wir nennen dann
(X , ≤) geordnete Menge.
Beispiel
Ist X eine Menge. Die Relation
A ≤ B :⇔ A ⊂ B
definiert eine Ordnung ≤ auf P(X ).
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Geordnete Mengen (Fortsetzung)
Definition
Wir nennen eine partialle Ordnung ≤ auf X total, falls für alle x, y ∈ X
entweder x ≤ y oder y ≤ x gilt. In diesem Fall heißt (X , ≤) total
geordnete Menge.
Beispiel
I
(Z, ≤) mit der gewöhnliche Ordnungsrelation ist eine total geordnete
Menge.
I
Ist X eine beliebige Menge. (P(X ), ≤) ist in der Regel nicht total
geordnet.
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Geordnete Mengen (Fortsetzung)
Definition
Es sei (X , ≤) eine geordnete Menge und C ⊂ X eine Teilmenge.
I
Wir nennen ein Element x ∈ X eine obere Schranke von C , falls
c ≤ x für alle c ∈ C . Man beachte, dass x nicht in C liegen braucht.
I
Wir nennen C eine Kette, wenn die Einschränkung der Ordnung ≤
auf C total ist.
I
Ein Element m ∈ X heißt maximal in X , wenn für alle x ∈ X die
folgende Implikation gilt: x ≥ m ⇒ x = m.
Proposition (Zornsches Lemma)
Es sei (X , ≤) eine geordnete Menge, so dass jede Kette C ⊂ X eine obere
Schranke in X besitzt. Dann hat X ein maximales Element.
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Bemerkung
Das Zornsche Lemma ist äquivalent zum Auswahlaxiom:
Es sei X eine Menge und X ⊂ P(X ) eine Menge von nichtleeren
Teilmengen von X . Dann existiert eine Abbildung ( Auwahlfunktion“)
”
φ : X → X mit φ(A) ∈ A für alle A ∈ X.
Satz
Jeder Vektorraum besitzt eine Basis.
Beispiel
Nach diesem Resultat hat zum Beispiel der Vektorraum V = C (R) der
stetigen Abbildungen R → R eine Basis (fi )i∈I .
Niemand weiß, wie so eine Basis explizit aussieht.
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