Einführung in die Topologie (SS 14) - math.uni

Einführung in die Topologie (SS 14)
Bernhard Hanke
Universität Augsburg
21.05.2013
Bernhard Hanke
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Es seien X , Y topologische Räume, A ⊂ X und f : A → Y eine stetige
˙ (mit Summentopologie)
Abbildung. Auf der disjunkten Vereinigung X ∪Y
sei ∼ die kleinste Äquivalenzrelation, sodass a ∼ f (a) für alle a ∈ A.
Dann heißt
˙ /∼
Y ∪f X = X ∪Y
die Anheftung von X entlang f .
Proposition
Ist Y ∪f X ein Anheftungsraum und A ⊂ X abgeschlossen, so ist
Y ,→ Y ∪f X , y 7→ [y ] ein Homöomorphismus auf einen abgeschlossenen
Teilraum und X \ A ,→ Y ∪f X , x 7→ [x] ist ein Homöomorphismus auf
einen offenen Teilraum.
Ist f : X → Y stetig und f0 : X × {0} = X → Y gleich f , so ist
Zf = Y ∪f0 (X × [0, 1])
der Abbildungszylinder Zf von f .
Wir identifizieren oft X mit X × {1} ⊂ Zf und Y mit Y ⊂ Zf .
Der Abbildungskegel Cf ist der Quotientenraum Zf /(X × {1}).
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Quotientenräume, Simplizialkomplexe
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Definition
Ein abstrakter Simplizialkomplex ist ein Paar (X , Σ) bestehend aus einer
total geordneten Menge X und einer Teilmenge Σ ⊂ P(X ) von X (Menge
der abstrakten Simplizes genannt) mit den folgenden Eigenschaften:
I
Jedes Simplex σ ∈ Σ ist nichtleer und endlich.
I
Ist ein Simplex σ ∈ Σ gegeben, so sind alle nichtleeren Teilmengen
von σ ebenfalls Simplizes.
I
Jedes Element von X ist in mindestens einem Simplex enthalten.
Ist σ ∈ Σ ein Simplex, so heißt die Zahl |σ| − 1 die Dimension von σ.
Die Teilmengen von σ ∈ Σ heißen Seiten von σ.
Die nulldimensionalen Simplizes heißen Ecken und die eindimensionalen
Simplizes Kanten von (X , Σ). Die Ecken von Σ sind also genau die
Elemente von X .
Wir nennen einen Simplizialkomplex (X , Σ) endlich, falls die Menge X
endlich ist. Dies ist gleichbedeutend damit, dass die Menge der Simplizes
Σ endlich ist.
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Quotientenräume, Simplizialkomplexe
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Es sei [n] die total geordnete Menge {0, 1, . . . , n}. Das volle
”
n-dimensionale Simplex“ ∆nabstr ist definiert als ([n], P([n])).
Es seien v0 , . . . , vk ∈ Rn affin unabhängige Vektoren (d.h.
v1 − v0 , . . . , vk − v0 sind linear unabhängig). Dann setzen wir
k
X
X
hv0 , . . . , vk i := {
ti vi | 0 ≤ ti ≤ 1,
ti = 1} ⊂ Rn .
i=0
Dies ist das von den Vektoren v0 , . . . , vk aufgespannte (geometrische,
affine) k-Simplex. Mit der Teilraumtopologie von Rn ist es ein kompakter
topologischer Raum. Jeder Punkt in hv0 , . . . , vk i ist durch seine
baryzentrischen Koordinaten t0 , . . . , tk eindeutig bestimmt.
Wir bezeichnen mit ei ∈ Rn+1 (wobei 0 ≤ i ≤ n) den i-ten kanonischen
Basisvektor und setzen
∆n := he0 , . . . , en i ⊂ Rn+1
Dies ist der Standard-n-Simplex.
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Quotientenräume, Simplizialkomplexe
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Ist k ≤ n, so induziert jede injektive ordnungserhaltende Abbildung
φ : {0, 1, . . . , k} → {0, 1, . . . , n}
eine Einbettung (d.h. Homöomorphismus auf das Bild)
iφ : ∆k → ∆n ,
gegeben durch
k
X
ti ei 7→
i=0
k
X
tφ(i) eφ(i) .
i=0
Ist nun ein abstrakter Simplizialkomplex (X , Σ) gegeben, so setzen wir
T :=
[
˙
σ∈Σ
∆σ ,
wobei ∆σ das geometrische Standard-Simplex der Dimension dim σ ist.
Der Raum T ist mit der Summentopologie versehen: Eine Teilmenge
U ⊂ T ist genau dann offen, falls für alle σ ∈ Σ die Menge U ∩ ∆σ offen
in ∆σ ist.
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Quotientenräume, Simplizialkomplexe
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Wir führen die Äquivalenzrelation ∼ auf
T =
[
˙
σ∈Σ
∆σ ,
wie folgt ein: Seien σ, τ ∈ Σ mit τ ⊂ σ. Wir identifizieren σ und τ mit
{0, . . . , dim(σ)} und {0, . . . , dim(τ )} mittels der eindeutig bestimmten
ordnungserhaltenden Bijektionen und erhalten eine von τ ⊂ σ induzierte
ordnungserhaltende Inklusion
φ : {0, . . . , dim(τ )} → {0, . . . , dim(σ)} .
Die Äquivalenzrelation ∼ identifiziere jedes x ∈ ∆τ mit iφ (x) ∈ ∆σ .
Der Quotientenraum |Σ| := T / ∼ heißt die geometrische Realisierung von
Σ oder auch der zu Σ gehörende geometrische Simplizialkomplex.
Offensichtlich ist |Σ| ein normaler Raum und kompakt genau dann, wenn
der abstrake Simplizialkomplex Σ endlich ist.
Proposition
|∆nabstr | ≈ ∆n .
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Quotientenräume, Simplizialkomplexe
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