Lineare Algebra I (WS 12/13) - math.uni-augsburg.de

Lineare Algebra I (WS 12/13)
Bernhard Hanke
Universität Augsburg
27.11.2012
Bernhard Hanke
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Koordinatentransformation
Definition
Es sei V ein endlichdimensionaler R-Vektorraum und es seien B und C
zwei Basen von V . Die darstellende Matrix der Identität idV : V → V
bezüglich der Basen B und C heißt Matrix der Koordinatentransformation
bzgl. der Basen B und C, geschrieben TCB .
Insbesondere kommutiert folgendes Diagramm:
Rn
TCB (f )
/ Rm
ΦB
! ΦC
V
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Bemerkung
I
Die Spalten von TCB genau die Koordinatenvektoren der Basisvektoren
in B bezüglich der Basis C.
I
Man beachte, dass nach Konstruktion
B −1
TCB = Φ−1
= TBC .
C ◦ ΦB =⇒ (TC )
Proposition
Es seien V und W endlichdimensionale R-Vektorräume mit dim V = n
und dim W = m. Es seien B, B 0 Basen von V und C, C 0 Basen von W . Es
sei f : V → W linear.
Dann gilt die Gleichung
0
0
MCB0 (f ) = TCC0 · MCB (f ) · TBB .
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Direkte Summen
Definition
Es sei V ein R-Vektorraum und (Wi )i∈I eine Familie von
Untervektorräumen von V . Die Summe der Wi ist definiert als der
Untervektorraum
X
[
Wi := span( Wi ) ⊂ V
i∈I
i∈I
Falls die gegebene Familie endlich ist, d.h. von der Form (W1 , . . . , Wr ), so
schreiben wir für die Summe W1 + . . . + Wr .
Bemerkung
P
Die Summe i∈I Wi ist der kleinste Untervektorraum von V , der alle Wi ,
i ∈ I , enthält:
X
Wi = {v = wi1 + . . . + wik | wij ∈ Wij , 1 ≤ j ≤ k und k ≥ 1}.
i∈I
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Definition
Es sei (Wi )i∈I eine Familie von Untervektorräumen von V . Wir nennen
diese Familie direkt, falls folgendes gilt: Ist (wi )i∈I eine Familie von
Vektoren wi ∈ Wi , von denen nur endlich viele ungleich 0 sind, und gilt
X
wi = 0 ,
i∈I
so folgt wi = 0 für alle i ∈ I .
Bemerkung
Ist V ein Vektorraum und ist (vi )i∈I eine Familie von Vektoren in V , so
sind also äquivalent:
I
Die Familie (vi ) ist linear unabhängig.
I
Die Familie von Untervektorräumen (span(vi ))i∈I von V ist direkt.
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Proposition
Es sei (Wi )i∈I eine Familie von Untervektorräumen von V . Dann sind
äquivalent:
a) Die Familie (Wi ) ist direkt.
P
b) P
Jeder Vektor w ∈ i∈I Wi besitzt eine eindeutige Darstellung als
i∈I wi mit wi ∈ Wi und wi 6= 0 für nur endlich viele i.
P
c) Für alle i0 ∈ I gilt Wi0 ∩ ( i∈I \{i0 } Wi ) = 0
Bemerkung
I
Ist (Wi ) eine direkteP
Familie von
L Untervektorräumen, so wird ihre
Summe anstatt mit i∈I mit i∈I Wi bezeichnet und diese Summe
wird direkt genannt.
I
Falls wir eine endliche direkte Familie (W1 , . . . , Wr ) vorliegen haben,
so schreiben wir also anstatt W1 + · · · + Wr
W1 ⊕ . . . ⊕ Wr .
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Proposition
Es seien W1 , . . . , Wr ⊂ V endlichdimensionale Untervektorräume. Dann ist
deren Summe W1 + . . . + Wr ebenfalls endlichdimensional und es gilt die
Ungleichung
dim(W1 + . . . + Wr ) ≤ dim W1 + . . . + dim Wr .
In dieser Formel tritt genau dann Gleichheit ein, falls die Familie
(W1 , . . . , Wr ) direkt ist.
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Proposition
Es sei W1 , W2 ⊂ V endlichdimensionale Untervektorräume. Dann gilt die
Gleichung
dim(W1 + W2 ) = dim W1 + dim W2 − dim(W1 ∩ W2 ) .
Definition
Es sei V ein reeller Vektorraum und W ⊂ V ein Untervektorraum. Wir
nennen einen Untervektorraum X ⊂ V ein Komplement von W , falls
V = W ⊕ X.
Bemerkung
I
Ist V endlichdimensional und W ⊂ V ein Untervektorraum, so zeigt
der Basisergänzungssatz, dass W ein Komplement besitzt.
I
Ein Komplement ist fast nie eindeutig: Der Untervektorraum
R × 0 ⊂ R2 hat unter anderem die Komplemente span((0, 1)) und
span((1, 1)).
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Affine Räume
Definition
Es sei V ein Vektorraum. Ein affiner Unterraum von V ist eine Teilmenge
von V der Form v + W , wobei v ∈ V und W ⊂ V ein Untervektorraum
ist. Der Punkt v ∈ V heißt auch Aufhängepunkt des affinen Unterraumes.
Bemerkung
Ein affiner Unterraum ist in der Regel kein Untervektorraum von V . Dies
ist genau dann der Fall, falls 0 ∈ v + W , d.h. falls v ∈ W .
Definition
Ist W ⊂ V ein Untervektorraum und sind v1 , v2 ∈ V , so nennen wir die
affinen Unterräume v1 + W und v2 + W parallel.
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Proposition
Es sei V ein reeller Vektorraum und A ⊂ V ein affiner Unterraum.
Schreiben wir A = v + W mit v ∈ V und einem Untervektorraum W ⊂ V ,
so ist W durch A eindeutig bestimmt. Der Vektor v ist eindeutig bestimmt
bis auf Addition von Vektoren in W .
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