Lineare Algebra I (WS 12/13) - math.uni-augsburg.de

Lineare Algebra I (WS 12/13)
Bernhard Hanke
Universität Augsburg
31.10.2012
Bernhard Hanke
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Proposition
Es sei (vi ) ein Familie von Vektoren in V . Dann sind äquivalent:
a) (vi ) ist eine Basis von V .
b) (vi ) ist ein unverkürzbares Erzeugendensystem von V , d.h. (vi ) ist ein
Erzeugendensystem und für jede echte Teilmenge I 0 $ I ist (vi )i∈I 0
kein Erzeugendensystem.
c) (vi ) ist unverlängerbar linear unabhängig, d.h. (vi ) ist linear
unabhängig, und ist I 0 % I eine echte Obermenge, und erweitern wir
(vi )i∈I zu einer Familie (vi )i∈I 0 , so ist (vi )i∈I 0 linear abhängig.
Definition
Ein Vektorraum V heißt endlichdimensional, falls er ein endliches
Erzeugendensystem besitzt. Ansonsten heißt er unendlichdimensional.
Bernhard Hanke
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Basisauswahlsatz
Satz (Basisauswahlsatz)
Es sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum und (v1 , . . . , vk ) sei ein
Erzeugendensystem von V . Dann bildet eine Teilfamilie dieser Familie eine
Basis von V . Insbesondere hat jeder endlichdimensionale Vektorraum eine
Basis.
Bernhard Hanke
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Basisergänzungssatz
Zum Basisauswahlsatz gibt es ein Gegenstück, den Basisergänzungssatz.
Das nächste Resultat bildet das Fundament dazu:
Proposition
Es sei V ein endlichdimensionaler R-Vektorraum mit Basis (v1 , . . . , vn ),
n ∈ N. Dann ist jede Familie in V , die aus mindestens n + 1 Vektoren
besteht, linear abhängig.
Folgerung
Es sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum. Dann sind alle Basen von
V endlich und haben die gleiche Länge.
Bernhard Hanke
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Dimension eines R-Vektorraums
Definition
Es sei V ein R-Vektorraum und (v1 , . . . , vn ) eine Basis. Wir definieren die
Dimension von V :
dim V := n.
Falls V nicht endlichdimensional ist, setzen wir dim V := ∞.
Bemerkung
Da alle Basen in einem endlichdimensionalen Vektorraum die gleiche Länge
haben, hängt diese Definition nicht von der Wahl der Basis (v1 , . . . , vn )
ab. Für den Nullvektorraum haben wir dim 0 = 0, denn die leere Familie
bildet eine Basis von 0.
Beispiel
Als Beispiel haben wir dim Rn = n für alle n ∈ N.
Bernhard Hanke
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Basisergänzungssatz
Satz (Basisergänzungssatz)
Es sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum der Dimension n und
(v1 , . . . , vk ) eine linear unabhängige Familie. Dann gilt k ≤ n. Falls k = n,
so ist die gegebene Familie bereits eine Basis von V . Falls k < n, so lässt
sich diese Familie durch Vektoren vk+1 , . . . , vn ∈ V zu einer Basis von V
ergänzen.
Folgerung
Es sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum und W ⊂ V ein
Untervektorraum. Dann ist auch W endlichdimensional und es gilt
dim W ≤ dim V . Falls dim W = dim V , so ist W = V .
Bemerkung
Der letzte Teil des Korollars gilt nicht für unendlichdimensionale
Vektorräume. Auf dem Übungsblatt findet sich ein Gegenbeispiel dazu.
Bernhard Hanke
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Basisergänzungssatz (Fortsetzung)
Beispiel
Da die Lösungsmengen homogener Gleichungssysteme mit n
Unbestimmten Untervektorräume des Rn sind, sind diese Lösungsmengen
also endlichdimensional und haben Dimension ≤ n.
Bernhard Hanke
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Zeilenrang einer Matrix
Definition
Wir defineren den Zeilenrang einer Matrix A, geschrieben ZRang (A) als
die Dimension des von den Zeilenvektoren aufgespannten
Untervektorraums des Rn .
Proposition
Elementare Zeilenumformungen von A verändern den Zeilenrang
ZRang (A) nicht.
Insbesondere gilt: Wenn wir A auf Zeilenstufenform gebracht haben und
diese aus r Zeilen ungleich 0 besteht, so haben wir r = ZRang (A).
Beispiel




1 2 1
1 2
1
A =  2 3 0  ∼  0 −1 −2  =⇒ ZRang (A) = 2
3 5 1
0 0
0
Bernhard Hanke
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Zeilenrang einer Matrix (Forsetzung)
Wir schließen heute mit folgender Proposition, die ein früher gestelltes
Problem löst:
Proposition
Ist ein homogenes lineares Gleichungssystem gegeben und bringen wir
dieses auf Zeilenstufenform, so hängt die Anzahl der Pivotelemente nur
vom linearen Gleichungssystem ab, aber nicht von der speziell
konstruierten Zeilenstufenform.
Bernhard Hanke
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