§3 Topologische Gruppen

Lie Gruppen, SS 2010
Montag 31.05
$Id: topgr.tex,v 1.6 2010/06/16 09:56:41 hk Exp hk $
§3
Topologische Gruppen
Wie schon in §2 angekündigt, wollen wir zeigen das die Matrixgruppen in GLn R
genau die abgeschlossenen Untergruppen sind. Die Implikation von rechts nach links
haben wir dabei in §2.Satz 13 eingesehen. Für die andere Richtung werden wir allgemeiner einsehen, dass lokalkompakte Untergruppen hausdorffscher topologischer Gruppen
immer abgeschlossen sind. Um dieses Ergebnis vorzubereiten, wollen wir erst einmal
die Vererbungseigenschaften“ lokalkompakter topologischer Räume untersuchen. Die
”
direkt zu sehenden Tatsachen listen wir wieder einmal auf.
1. Ist X ein lokalkompakter topologischer Raum und U ⊆ X eine offene Teilmenge,
so ist auch U ein lokalkompakter topologischer Raum. Denn zunächst ist U als
Teilraum eines hausdorffschen topologischen Raums wieder hausdorffsch. Ist weiter x ∈ U , so ist U eine Umgebung von x in X und nach Lemma 15.(b) existiert
eine offene Umgebung V von x in X mit x ∈ V ⊆ V ⊆ U so, dass V kompakt
ist. Da V auch in U offen ist, ist V damit eine kompakte Umgebung von x in U .
Somit ist U lokalkompakt.
2. Ist X ein lokalkompakter topologischer Raum und A ⊆ X abgeschlossen, so ist
auch A ein lokalkompakter topologischer Raum. Zunächst ist A wieder hausdorffsch. Ist x ∈ A, so gibt es eine kompakte Umgebung C von x in X. Dann ist
A∩C eine Umgebung von x in A, und da A∩C abgeschlossen in C ist, ist A∩C als
abgeschlossener Teilraum eines kompakten Raums auch wieder kompakt. Somit
ist A lokalkompakt.
3. Ist X ein topologischer Raum, so nennt man eine Menge A ⊆ X lokal abgeschlossen wenn es eine offene Menge U ⊆ X und eine abgeschlossene Menge B ⊆ X
mit A = U ∩ B gibt. Gleichwertig hierzu ist, das A offen in seinem Abschluß A
ist, also
A ⊆ X lokal abgeschlossen ⇐⇒ A ist offen in A.
Dies kann man recht schnell beweisen.
”=⇒” Es gibt U ⊆ X offen und B ⊆ X abgeschlossen mit A = U ∩ B. Insbesondere ist A ⊆ B und somit auch A ⊆ B. Damit gilt A ⊆ U ∩ A ⊆ U ∩ B = A, d.h.
A = U ∩ A ist offen in A.
”⇐=” Ist A in offen in A, so gibt es nach Definition der Topologie von A eine offene Menge U ⊆ X mit A = U ∩ A, und insbesondere ist A ⊆ X lokal
abgeschlossen.
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4. Ist X ein lokalkompakter topologischer Raum und A ⊆ X lokal abgeschlossen,
so ist auch A ein lokalkompakter topologischer Raum. Denn zunächst ist A nach
(2) ein lokalkompakter Raum und da A nach (3) offen in A ist, ist auch A nach
(1) ein lokalkompakter topologischer Raum.
5. Sind X, Y zwei lokalkompakte topologische Räume, so ist auch das Produkt X×Y
ein lokalkompakter topologischer Raum. Denn zunächst folgt wie im Beweis der
entsprechenden Aussage (11) für kompakte topologische Räume, dass X × Y
zumindest hausdorffsch ist. Seien jetzt x ∈ X und y ∈ Y gegeben. Dann gibt
es kompakte Umgebungen A von x in X und B von y in Y . Damit ist aber
auch A × B eine kompakte Umgebung von (x, y) in X × Y . Somit ist X × Y
lokalkompakt.
Wir werden uns jetzt klarmachen das auch die Umkehrung von Aussage (4) gilt, d.h.
ein Teilraum eines lokalkompakten topologischen Raums ist genau dann lokalkompakt
wenn er lokal abgeschlossen ist. Wir beweisen sogar eine etwas stärkere Aussage.
Lemma 3.16 (Lokalkompakte Teilräume von Hausdorffräumen)
Seien X ein hausdorffscher topologischer Raum und A ⊆ X ein lokalkompakter Teilraum. Dann ist A ⊆ X lokal abgeschlossen.
Beweis: Sei x ∈ A. Da A lokalkompakt ist, existiert eine kompakte Umgebung C von
x in A. Da C eine Umgebung von x in A ist, gibt es weiter eine offene Menge U ⊆ X
mit x ∈ U ∩ A ⊆ C. Wir behaupten jetzt, dass auch U ∩ A ⊆ A gilt. Andernfalls gibt
es ein z ∈ U ∩ A mit z ∈
/ A. Sei y ∈ C. Wegen C ⊆ A und z ∈
/ A ist dann y 6= z und
da X hausdorffsch ist, existieren
offene
Mengen
V
,
W
⊆
X
mit
y ∈ Vy , z ∈ Wy und
y
y
S
Vy ∩ Wy =
S ∅. Dann ist C ⊆ y∈C Vy und da C kompakt ist, existieren y1 , . . . , yn ∈ C
mit C ⊆ ni=1 Vyi . Wir erhalten die offene Umgebung
W := U ∩
n
\
W yi
i=1
von z in X mit
C ∩W ⊆
n
[
Vyi ∩ W ⊆
i=1
n
[
Vyi ∩ Wyi = ∅.
i=1
Andererseits ist wegen z ∈ A nach Lemma 2 auch A ∩ W 6= ∅, und es folgt der
Widerspruch
∅=
6 A ∩ W = A ∩ U ∩ W ⊆ C ∩ W = ∅.
Dieser Widerspruch zeigt U ∩ A ⊆ A. Wegen x ∈ U ∩ A ⊆ U ∩ A ⊆ A isr x somit ein
innerer Punkt von A in A. Damit besteht A nur aus bezüglich A inneren Punkten und
ist somit offen in A. Damit ist A ⊆ X lokal abgeschlossen.
Damit können wir jetzt unsere angekündigte Aussage über lokalkompakte Untergruppen beweisen.
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Lemma 3.17 (Lokalkompakte Untergruppen hausdorffscher Gruppen)
Eine lokalkompakte Untergruppe einer hausdorffschen topologischen Gruppe G ist abgeschlossen in G.
Beweis: Sei H ≤ G eine lokalkompakte Untergruppe von G. Nach Lemma 4.(a) ist
auch H ≤ G eine Untergruppe von G, also selbst eine topologische Gruppe. Nach
Lemma 16 ist H eine offene Untergruppe von H, und nach Lemma 14.(a) ist H auch
abgeschlossen in H. Da H ⊆ G abgeschlossen ist, ist damit auch H ⊆ G abgeschlossen.
Satz 3.18 (Charakterisierung der Matrixgruppen)
Sei n ∈ N und sei G ≤ GLn R eine Untergruppe. Dann ist G genau dann eine Matrixgruppe wenn G ⊆ GLn R abgeschlossen ist.
Beweis: ”⇐=” Dies ist §2.Satz 13.
”=⇒” Sei x ∈ G. Dann existieren m ∈ N, eine offene Menge U ⊆ Rm und eine Parametrisierung ϕ : U → G von G mit x ∈ ϕ(U ). Weiter existiert ein > 0 mit B (ϕ−1 (x)) ⊆
U , und da Parametrisierungen offene Abbildungen sind, ist ϕ(B (ϕ−1 (x))) eine kompakte Umgebung von x in G. Damit ist G eine lokalkompakte Untergruppe von GLn R,
und nach Lemma 17 auch abgeschlossen in GLn R.
Als letzte Aussage in diesem Paragraphen wollen wir jetzt eine Art Homomorphiesatz
für zumindest einige topologische Gruppen beweisen. Angenommen wir haben einen
stetigen, surjektiven Homomorphismus f : G → H zwischen zwei topologischen Gruppen G und H. Der Homomorphiesatz für Gruppen sagt uns, dass N := Kern(f ) G
ein Normalteiler von G ist, und
f : G/N → H; N g 7→ f (g)
ist ein Gruppenisomorphismus. Bezeichnet p : G → G/N die Projektion, so ist f ◦p = f
stetig, und damit ist f : G/N → H auch stetig. Leider ist f im Allgemeinen aber kein
Isomorphismus topologischer Gruppen, also kein Homöomorphismus. Dies ist leicht in
Beispielen zu sehen, man kann für H die reellen Zahlen in der euklidischen Topologie
nehmen, für G die reellen Zahlen in der diskreten Topologie und für f die Identität.
Dann ist f stetig aber kein Homöomorphismus. Sind die Gruppen aber lokalkompakt
und erfüllen eine kleine weitere Bedingung, so gilt der Homomorphiesatz auch topologisch. Dass es nicht ausreicht G und H als lokalkompakt anzunehmen wird auch von
unserem Beispiel gezeigt. Wichtig für das folgenden ist, das lokalkompakte topologische Räume den Satz von Baire erfüllen, und wir beginnen damit diese Tatsache zu
beweisen.
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Definition 3.18: Ein topologischer Raum X heißt bairesch, wenn für jede Folge (An )n∈N
abgeschlossener Teilmengen von X mit A◦n = ∅ für alle n ∈ N auch
!◦
∞
[
An
=∅
n=1
ist.
Meist wird die bairesche Bedingung als Kontraposition
angewandt, d.h. ist (An )n∈N
S
◦
eine Folge abgeschlossener Teilmengen von X mit ( ∞
A
n=1 n ) 6= ∅, so existiert bereits
ein n ∈ N mit A◦n 6= ∅. Eine weitere oft verwendete Umformulierung ergibt sich durch
den Übergang zu Komplementen. Sei (An )n∈N eine Folge abgeschlossener Teilmengen
von X. Für jedes n ∈ N ist dann Dn := X\An ⊆ X offen. Für eine beliebige Teilmenge
A ⊆ X haben wir
\
X\X\A = X\ {B ⊆ X abgeschlossen|X\A ⊆ B}
[
=
{X\B|B ⊆ X abgeschlossen mit X\A ⊆ B}
[
=
{X\B|B ⊆ X abgeschlossen mit X\B ⊆ A}
[
=
{U ⊆ X offen|U ⊆ A}
= A◦ ,
es ist also X\A = X\A◦ . Insbesondere ist damit
A◦ = ∅ ⇐⇒ X\A = X ⇐⇒ X\A ⊆ X ist dicht.
Kommen wir zu unserer Folge zurück, so ist A◦n = ∅ für alle n ∈ N also gleichwertig
dazu,
dicht in X ist. S
Weiter ist auch genau dann
S∞ dass◦ Dn ⊆ X für jedes n ∈ N T
∞
( n=1 An ) = ∅ genau dann wahr wenn n=1 Dn = X\( ∞
n=1 An ) dicht in X ist. Also
ist ein topologischer Raum X genau dann bairesch, T
wenn für jede Folge (Dn )n∈N offener,
dichter Teilmengen von X auch der Durchschnitt ∞
n=1 Dn dicht in X ist.
Die beiden wohl wichtigsten Beispielklassen bairescher Räume sind zum einen die
vollständigen metrischen Räume und zum anderen die lokalkompakten Räume. Allgemeine metrische Räume müssen dagegen nicht unbedingt bairesch sein. Nehmen wir
etwa X = Q in der gewöhnlichen Metrik, so ist X die abzählbare Vereinigung seiner
einelementigen Teilmengen und diese sind alle abgeschlossen in X mit leeren Inneren.
Damit ist Q nicht bairesch. Wir zeigen jetzt, dass lokalkompakte topologische Räume
tatsächlich immer bairesch sind.
Satz 3.19 (Satz von Baire für lokalkompakte Räume)
Jeder lokalkompakte topologische Raum ist auch bairesch.
Beweis: Sei X ein lokalkompakter topologischer Raum. Sei (Dn )n∈N eine Folge offener,
dichter Teilmengen von X. Beachte das eine Teilmenge D ⊆ X von X nach Lemma 2
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genau dann dicht in X ist, wenn U ∩ D 6= ∅ für jede offene Menge ∅ =
6 U ⊆ X gilt. Sei
also eine offene Menge ∅ 6= U ⊆ X gegeben. Wegen U 6= ∅ gibt es ein x ∈ U und nach
Lemma 15.(b) existiert eine kompakte Menge C0 ⊆ X mit x ∈ C0◦ ⊆ C0 ⊆ U .
◦
Sei jetzt n ∈ N und es sei bereits eine kompakte Menge Cn−1 ⊆ X mit Cn−1
6= ∅
◦
konstruiert. Da Dn ⊆ X dicht in X ist, folgt dann Cn−1
∩ Dn 6= ∅ und da Dn ⊆ X
◦
und somit auch Cn−1
∩ Dn ⊆ X offen sind, existiert weiter genauso wie wir oben für U
geschlossen haben eine kompakte Menge Cn ⊆ X mit
◦
◦
∅=
6 Cn◦ ⊆ Cn ⊆ Cn−1
∩ Dn ⊆ Cn−1
⊆ Cn−1 .
Induktiv wird somit eine Folge (Cn )n∈N nicht leerer, kompakter Teilmengen von X mit
Cn ⊆ Cn−1 für alle n ∈ N konstruiert. Es folgt
∅=
6
∞
\
n=1
Also ist
T∞
n=1
Cn ⊆
C0◦
∩
∞
\
n=1
Dn ⊆ U ∩
∞
\
Dn .
n=1
Dn dicht in X und X ist ein bairescher Raum.
Damit haben wir alles beisammen um zum Homomorphiesatz zu kommen. Wir geben
eine etwas allgemeinere Formulierung an, und beweisen gleich alles für transitive Wirkungen lokalkompakter topologischer Gruppen. Hieraus wird der Homomorphiesatz
folgen, denn man kann surjektive Gruppenhomomorphismen als spezielle transitive
Wirkungen interpretieren. Seien nämlich G und H zwei Gruppen und f : G → H ein
surjektiver Gruppenhomomorphismus. Dann wird durch
ω : H × G → H; (h, g) 7→ h · f (g)
offenbar eine Wirkung der Gruppe G auf der Menge H definiert. Diese Wirkung ist auch
transitiv, denn sind h1 , h2 ∈ H, so existiert ein g ∈ G mit f (g) = h−1
1 h2 und für dieses
g
−1
gilt h1 = h1 f (g) = h1 h1 h2 = h2 . Die Standgruppe auf dem neutralen Element 1 von
H ist der Kern von f und der induzierte Gruppenisomorphismus f : G/ Kern(f ) → H
ist genau die Äquivalenz φ1 : G/ Kern(f ) → H; Kern(f ) · g 7→ 1g = 1 · f (g) = f (g) der
Wirkung von G auf G/ Kern(f ) zur Wirkung von f auf H.
Wie schon festgestellt wird es nicht ausreichen G und H nur als lokalkompakt vorauszusetzen. Es wird noch eine zusätzliche Bedingung benötigt, die wir nun einführen
wollen.
Definition 3.19: Sei G eine topologische Gruppe. Wir nennen G von abzählbaren Typ,
wenn es für jede Umgebung U von 1 in G eine abzählbare Teilmenge A ⊆ G mit
G = U A gibt.
Offenbar reicht es zu fordern, dass es für jede offene Umgebung U von 1 in G stets
eine abzählbare Menge A ⊆ G mit G = U A gibt. Von abzählbaren Typ zu sein ist für
eine lokalkompakte Gruppe keine grosse Einschränkung, wie wir bald sehen werden.
Wie schon angekündigt formulieren unseren angestrebten Homomorphiesatz jetzt für
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Wirkungen. Der Beweis ist nahezu identisch zum üblichen Beweis des Satzes von der
offenen Abbildung in der Funktionalanalysis.
Satz 3.20: Sei G eine lokalkompakte Gruppe von abzählbaren Typ, die transitiv auf
einem hausdorffschen, baireschen Raum X wirkt. Weiter sei x ∈ X. Dann ist die
Abbildung ψ : G → X; g 7→ xg offen, und die natürliche Bijektion φx : G/Gx → X ist
ein Homöomorphismus.
Beweis: Sei U ⊆ G offen. Sei g ∈ U . Wir müssen zeigen, dass ψ(g) = xg ein innerer
Punkt von ψ(U ) = xU ist. Wähle dazu nach Lemma 5.(a) eine offene Umgebung V von
1 in G mit gV ⊆ U . Mit Lemma 5.(c) und Lemma 15.(b) gib es weiter eine kompakte
Umgebung W von 1 in G mit W = W −1 und W 2 ⊆ V . Da G von abzählbaren Typ ist,
gibt es eine abzählbare Teilmenge A ⊆ G mit G = W A. Für jedes a ∈ A ist xgW a ⊆ X
kompakt,
somit auch abgeschlossen in X. Die Transitivität der Wirkung liefert
S und
gW a
X = a∈A x
. Da X als bairesch vorausgesetzt ist, gibt es zumindest ein a ∈ A mit
gW a ◦
x
6= ∅. Andererseits ist xgW a = (xgW )a , und somit muss auch (xgW )◦ 6= ∅ sein.
Es gibt also ein w ∈ W so, dass xgw ein innerer Punkt von xgW ist, d.h. es gibt eine
−1
offene Menge Q ⊆ X mit xgw ∈ Q ⊆ xgW . Damit ist auch die Menge Qw ⊆ X offen,
und es gilt
xg = (xgw )w
−1
∈ Qw
−1
⊆ (xgW )w
−1
= xgW w
−1
⊆ xgV ⊆ xU .
Die zweite Aussage ergibt sich jetzt sofort aus Aufgabe (23).
Der Homomorphiesatz ist jetzt ein unmittelbares Korollar.
Korollar 3.21 (Homomorphiesatz für lokalkompakte Gruppen)
Seien G eine lokalkompakte topologische Gruppe von abzählbaren Typ, H eine weitere
lokalkompakte topologische Gruppe und f : G → H ein surjektiver, stetiger Gruppenhomomorphismus. Dann ist f eine offene Abbildung und induziert einen Isomorphismus
f : G/ Kern(f ) → H topologischer Gruppen.
Beweis: Nach Satz 19 ist H insbesondere bairesch. Wie wir oben schon festgestellt
haben wird durch
ω : H × G → H; (h, g) 7→ hf (g)
eine offenbar auch stetige, transitive Wirkung von G auf dem Raum H definiert, und
für jedes g ∈ G gilt 1g = f (g). Also ist f nach Satz 20 eine offene Abbildung und
ebenfalls nach Satz 20 ist f ein Homöomorphismus, also insgesamt ein Isomorphismus
topologischer Gruppen.
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