Algebraische Topologie ¨Uberlagerungen und Bahnenräume

Friedrich-Schiller-Universität Jena
Mathematisches Institut
Prof. Dr. David J. Green
Algebraische Topologie
Sommersemester 2006
Info-Blatt: Überlagerungen und Bahnenräume
Überlagerungen und Bahnenräume
In der Überlagerungstheorie beschränken wir uns auf einen Spezialfall, die jetzt in Voraussetzung 2.8 beschrieben wird. Im Sinne von Fulton1 handelt es sich um eine “even Gcovering”, wobei die meisten Autoren “properly discontinuous” statt “even” sagen würde.
Eng verwandt ist auch Ossas “freie und eigentliche Operation einer diskreten Gruppe auf
einem Hausdorff-Raum”, siehe dazu seinen Satz 3.6.6.
Voraussetzung 2.8 Sei X ein topologischer Raum und G eine Gruppe, die auf X operiert, und zwar so, dass für jedes g ∈ G die Abbildung X → X, x 7→ gx stetig ist. Sei
Y ein topologischer Raum, der zum Bahnenraum X/G homöomorph ist: das heißt, Y ist
zum Quotientenraum X/ ∼ homöomorph, wobei x ∼ x0 genau dann gilt, wenn es ein
g ∈ G gibt mit x0 = gx. Sei p : X → Y die Quotientenabbildung, sei x0 ∈ X ein fest
gewählter Basispunkt, und sei y0 = p(x0 ) ∈ Y .
Ferner setzen wir voraus, dass jedes x ∈ X eine platte Umgebung x ∈ U ⊆ X hat.
Dabei wird eine S
offene Menge U ⊆ X platt genannt (meine private Bezeichnung), wenn
die Vereinigung g∈G gU disjunkt ist, d.h. wenn gU ∩ g 0 U = ∅ für alle g 6= g 0 ∈ G.
Beispiel X = R, G = Z, Y = S 1 , p(x) = exp(2πix), x0 = 0, y0 = 1. Die Z-Operation
auf R ist n ∗ x := x + n. Für jedes x ∈ R ist U = (x − 31 , x + 13 ) platt.
Beispiel Y = RP2 , X = S 2 , G = {+1, −1} ∼
= Z/2. Die Operation ist (+1)P =
P , (−1)P = −P . Wir definierten RP2 als der Quotientenraum S 2 / ∼, also p ist die
Quotientenabbildung p : P 7→ [P ]∼ = {P, −P }. Für jedes P ∈ S 2 ist U = {Q ∈ P |
kQ − P k2 < 12 } platt.
Nachtrag zu §1: Die Lebesgue-Zahl Das folgende Lemma bewiesen wir für Würfel
im Rn im Rahmen des Beweises von Satz 1.4.
Lemma 1.10 Sei X ⊆ Rn eine kompakte
Teilmenge, und (Ui )i∈I eine Familie von offenen
S
n
Mengen in R derart, dass X ⊆ i∈I Ui gilt. Dann hat diese offene Überdeckung von X
eine Lebesgue-Zahl δ > 0, das heißt: für jedes x ∈ X gibt es ein i ∈ I, so dass B(x, δ)
ganz in Ui liegt.
Beweis. Wenn nicht, so gibt es eine Folge (xr ) in X derart, dass B(xr , 1r ) in keinem Ui
enthalten ist. Wegen Satz 1.4 ist X folgenkompakt, d.h. es gibt ein x0 ∈ X, das der
Grenzwert einer Teilfolge von (xr ) ist. Aber x0 liegt schon in einem offenen U0 , also
B(x0 , 2ε) ⊆ U0 für ein ε > 0. Für r > 1ε kann xr deshalb nicht in B(x0 , ε) liegen, ein
Widerspruch zur Wahl von x0 .
1
W. Fulton. Algebraic Topology: A First Course. GTM 153, Springer-Verlag.