3. ¨Ubungsblatt zur Vorlesung Funktionalanalysis 1

Berlin, den 02.05.2011
Technische Universität Berlin
Institut für Mathematik
Dr. Patrick Winkert
André Uschmajew
3. Übungsblatt zur Vorlesung Funktionalanalysis 1
Aufgabe 1 (Summen von Mengen)
4 Punkte
Sind A, B zwei Teilmengen eines normierten Raumes (X, k · k), so bezeichnet man mit A + B die Menge
aller Summen a + b mit a ∈ A, b ∈ B. Man zeige:
(a) Ist A oder B offen, so ist A + B offen.
(b) Sind A und B kompakt, so ist A + B kompakt.
(c) Ist A kompakt und B abgeschlossen, so ist A + B abgeschlossen.
(d) Sind A und B abgeschlossen, so muss A + B nicht abgeschlossen sein.
Hinweis: Finden Sie ein Beispiel in R.
Aufgabe 2 (Parallelotope in `2 )
Sei y = (y1 , y2 , . . . ) ∈ `2 und
4 Punkte
Hy = {x = (x1 , x2 , . . . ) ∈ `2 | |xi | ≤ |yi | für alle i ∈ N}.
Beweisen Sie, dass Hy präkompakt ist. Folgern Sie, dass Hy sogar kompakt ist.
Bemerkung: Für y = (1, 21 , 13 , . . . ) heißt Hy Hilbertsches Parallelotop. Es ist ein Beispiel einer unendlichdimensionalen kompakten Menge.
Aufgabe 3 (Inklusionsbeziehungen zwischen `p -Räumen)
6 Punkte
(a) Sei 1 ≤ p < q ≤ ∞ und x ∈ `1 . Zeigen Sie
kxkq ≤ kxkp .
Dies impliziert `p ⊂ `q . Diese Inklusion ist bekanntlich echt.
Hinweis: Der Fall kxkp = ∞ ist trivial. Andernfalls kann man stets kxkp = 1 annehmen.
(b) Beweisen Sie: lim kxkp = kxk∞ .
p→∞
(c) Sei c0 der Raum aller Nullfolgen. Zeigen Sie:
[
`p ( c0 .
1≤p<∞
Aufgabe 4 (Separabilität normierter Räume)
4 Punkte
Beweisen Sie, dass ein normierter Raum (X, k · k) genau dann separabel ist, wenn die Einheitssphäre
S(0, 1) = {x ∈ X | kxk = 1} in ihm separabel ist.
Hinweis: Nehmen Sie keinen Bezug zu Aufgabe 2 vom 2. Übungsblatt.
Abgabe: In der Woche vom 9. bis 15. Mai im Tutorium.
Tutoriumsvorschläge
Aufgabe 1 (Metriken, die von einer Norm erzeugt werden)
Sei (X, d) ein metrischer Raum und X ein Vektorraum. Unter welchen Voraussetzungen an d gibt es eine
Norm auf X, welche die Metrik d induziert?
Aufgabe 2 (Kugeln in metrischen Räumen)
Sei (X, k · k) ein normierter Raum, x0 ∈ X und r > 0. Zeigen Sie:
B(x0 , r) = {x ∈ X | kx − x0 k ≤ r}.
Geben Sie ein Beispiel für einen metrischen Raum (M, d), in welchem
B(x0 , 1) 6= {x ∈ M | d(x0 , x) ≤ 1}
gilt.
Aufgabe 3 (Normen auf C 1 ([0, 1]))
Für f ∈ C 1 ([0, 1]) betrachten wir die Ausdrücke
kf k1,∞ = kf k∞ + kf 0 k∞ ,
|||f |||1
= |f (0)| + kf 0 k∞ ,
|||f |||2
= max{|f (0)|, kf 0 k∞ },
Z 1
Z 1
1/2
=
|f (t)|2 dt +
|f 0 (t)|2 dt
.
|||f |||3
0
0
Überzeugen Sie sich, dass alle vier Ausdrücke Normen auf C 1 ([0, 1]) definieren. Welche von ihnen sind
(paarweise) äquivalent?
Aufgabe 4 (Echte Unterräume sind nicht offen)
Beweisen Sie: Enthält ein linearer Teilraum U eines normierten Raums X eine in X offene Menge, so ist
U = X.
Aufgabe 5 (Finite Folgen)
Sei X die Menge aller reellen Zahlenfolgen, die nur endlich viele von Null verschieden Glieder besitzen.
Zeigen Sie: X ist ein linearer Teilraum von `1 , aber nicht abgeschlossen. Somit ist (X, k · k1 ) kein Banachraum.