12. ¨Ubung zur Vorlesung Topologie I (Sommersemester 2010) C

12. Übung zur Vorlesung
Topologie I (Sommersemester 2010)
C. Lange, H. Siebert, R.-S. Kroll
Abgabe am 09. Juli 2010.
1. Aufgabe:
Seien X ein topologischer Raum, x0 , x1 ∈ X und α : I −→ X ein Weg mit α(0) = x0 und
α(1) = x1 . In der Vorlesung wurde gezeigt, dass ein Isomorphismus α∗ : π1 (X, x0 ) −→ π1 (X, x1 )
der Fundamentalgruppen induziert wird.
Zeige, dass der Isomorphismus nur von der Homotopieklasse von α abhängt.
2. Aufgabe:
Sei X ein wegzusammenhängender topologischer Raum. Zeige, dass π1 (X) genau dann eine
abelsche Gruppe ist, wenn die induzierten Isomorphismen α∗ : π1 (X) −→ π1 (X) für alle stetigen
Wege α nicht vom Weg α, sondern nur von den Punkten α(0) und α(1) abhängen.
3. Aufgabe:
Sei f : X −→ Y eine stetige Abbildung von dem punktierten topologischen Raum (X, x0 )
in einen topologischen Raum Y . Ziel ist es zunächst zu zeigen, dass die Abbildung f einen
Gruppenhomomorphismus f∗ : π1 (X, x0 ) −→ π1 (Y, f (x0 )) induziert. Beweise:
(a) Jede Schleife σ : I −→ X in x0 wird durch f∗ σ(t) := f (σ(t)) auf eine Schleife f∗ σ : I −→ Y
in f (x0 ) abgebildet. Dabei werden homotope Schleifen auf homotope Schleifen abgebildet,
so dass f∗ eine wohldefinierte Abbildung von π1 (X, x0 ) nach π1 (Y, f (x0 )) ist.
(b) Die Abbildung f∗ ist ein Gruppenhomomorphismus.
Zeige weiterhin, dass das folgende Diagramm für jeden stetigen Weg α : I −→ X mit α(0) = x0
und α(1) = x1 kommutiert.
π1 (X, x0 )


f∗ y
α
−−−∗−→
π1 (X, x1 )

f
y∗
π1 (Y, f (x0 )) −−−−→ π1 (Y, f (x1 ))
(f ◦α)∗
Formuliere den vorliegenden Sachverhalt in kategorieller Sprache und vergleiche ihn mit dem
einer natürlichen Transformation.
4. Aufgabe:
Es seien (X, x0 ), (Y, y0 ) und (Z, z0 ) := (X × Y, (x0 , y0 )) punktierte topologische Räume und
pX : Z −→ X und pY : Z −→ Y die Projektionen auf die erste bzw. zweite Komponente.
Zeige, dass
Y
(pX
∗ , p∗ ) : π1 (Z, z0 ) −→ π1 (X, x0 ) × π1 (Y, y0 )
Y
α 7−→ (pX
∗ (α), p∗ (α))
ein Isomorphismus ist.
Bemerkung: Für Gruppen G und H bezeichnet G×H = {(g, h) | g ∈ G und h ∈ H} das direkte
Produkt von G und H mit der induzierten Gruppenstruktur (g, h) · (g 0 , h0 ) := (gg 0 , hh0 ).