Unendlich-dimensionale Analysis,¨Ubung / Hausübung 4

A
Fachbereich Mathematik
AG 5 Funktionalanalysis
Dr. H. Glöckner
WS 02/03
TECHNISCHE
UNIVERSIT ÄT
DARMSTADT
25. 11. 2002
Unendlich-dimensionale Analysis, Übung / Hausübung 4
Aufgabe 1.
Es sei f : R → R von der Klasse C 2 . Zeige unter Benutzung von f [2] , dass
f 00 (t) = lim
s→0
f (t + 2s) − 2f (t + s) + f (t)
s2
für alle t ∈ R. Finde eine analoge Formel für f 000 (t), falls f von der Klasse C 3 ist.
Aufgabe 2.
Es sei E ein topologischer Vektorraum, U ⊆ E eine offene Teilmenge und f : U → F eine
1
CM
B -Funktion in einen lokalkonvexen topologischen Vektorraum F . Es gelte df = 0.
(a) Zeige, dass f konstant ist, falls U sternförmig ist.
(b) Zeige, dass f konstant ist, falls U zusammenhängend ist.
Aufgabe 3.
Es sei U ⊆ Rn offen, f : U → R eine Funktion und k ∈ N0 . Zeige induktiv, dass f genau
k
dann von der Klasse CM
B ist, wenn f im Sinne der Analysis II k mal stetig partiell differenzierbar ist. Drücke dk f (x, y1 , . . . , yk ) durch partielle Ableitungen und die Koordinaten
von y1 , . . . , yk ∈ Rn aus.
[Ergebnisse der Analysis II und/oder der Vorlesung dürfen und sollen benutzt werden !]
Aufgabe 4.
Es sei ∅ 6= K ein kompakter topologischer Raum und γ : [0, 1] → C(K, R), t 7→ γt eine
stetige Abbildung in den Banach-Raum C(K, R). Dann existiert das schwache Integral
Z 1
γt dt
0
in C(K, R). Was ist
R
1
0
γt dt (x) für x ∈ X ?
Aufgabe 5.
Zeige, dass eine Funktion p : Rn → R genau dann ein Polynom von Grad ≤ k im in
der Vorlesung definierten Sinn ist, wenn p eine Polynomfunktion von n Unbestimmten im
üblichen Sinne ist, also von der Form
X
p(x1 , . . . , xn ) =
aα xα1 1 · xα2 2 · · · xαnn
|α|≤k
mit Multiindizes α = (α1 , . . . , αn ) ∈ Nn0 der Ordnung |α| := α1 + · · · + αn ≤ k.
[Hinweis. Betrachte zunächst homogene Polynome vom Grad k.
Aufgabe 6.
Es sei (A, k.k) eine kommutative
P∞ 1 n Banach-Algebra (assoziativ, mit 1). Dann konvergiert
Reihe !) und
die Exponentialreihe n=0 n! x absolut (vgl. Diskussion der
P Neumannschen
1 n
x
,
welche
der
üblichen
definiert eine stetige Funktion expA : A → A, expA (x) := ∞
n=0 n!
Funktionalgleichung der Exponentialfunktion genügt, expA (x + y) = expA (x) expA (y).
1
(a) Zeige unter Benutzung obiger Informationen, dass expA : A → A von der Klasse CM
B
ist. Finde eine Formel für (d expA )(x, y).
k
(b) Zeige induktiv durch Induktion über k ∈ N, dass expA von der Klasse CM
B ist, und
k
finde eine Formel für (d expA )(x, y1 , . . . , yk ).
(c) Bestimme die Taylorreihe von expA um 0.
Aufgabe 7.
Es sei E ein topologischer Vektorraum, F ein lokalkonvexer topologischer Vektorraum und
k
k
f : E → F eine Abbildung der Klasse CM
B mit d f = 0. Zeige, dass f ein Polynom vom
Grad ≤ k ist.
Weitere Aufgaben zur Allgemeinbildung
Mit folgendem Satz (von Dieudonné) läßt sich der Beweis von Satz 7.20 stark abkürzen.
Aufgabe 8.
Es sei X ein topologischer Raum, D ⊆ X eine dichte Teilmenge und f : D → Y eine stetige
Funktion in einen regulären topologischen Raum1 Für jedes x ∈ X \ D existiere eine stetige
Fortsetzung
gx : D ∪ {x} → Y
von f . Zeige, dass sich dann f zu einer stetigen Funktion g : X → Y fortsetzen läßt.
Aufgabe 9.
Es sei {0} 6= E ein lokalkonvexer topologischer Vektorraum und η1 : E → E1 eine Vervollständigung.
(a) Zur Erinnerung: sind X und Y unendliche Mengen, so gilt
card(X ∪ Y ) = max{card(X), card(Y )}
für die Mächtigkeiten der Mengen. Schließe aus card(P(E1 )) > card(E1 ) ≥ card(E),
dass es eine zu E disjunkte Menge E2 der Mächtigkeit card(E1 ) gibt.
(b) Es gibt nach dem Vorigen eine Bijektion φ : E1 → E2 . Gib E2 die topologische
Vektorraumstruktur, welche φ zu einem Isomorphismus topologischer Vektorräume
macht; setze η2 := φ ◦ η1 . Dann ist auch η2 : E → E2 eine Vervollständigung von E,
und E ∩ E2 = ∅. Zeige, dass E3 := E ∪ (E2 \ η2 (E)) mit
η3 : E → E3 ,
x 7→ x
zu einer Vervollständigung von E gemacht werden kann.
e annehmen und η(x) = x.
Man kann daher stets E ⊆ E
1
Ein topologischer Raum Y heißt regulär, wenn er Hausdorffsch ist und für jedes y ∈ Y und jede
Umgebung U von y in Y eine in U enthaltene abgeschlossene Umgebung von y in Y exitiert. Beispielsweise ist jede (Hausdorffsche) topologische Gruppe ein regulärer topologischer Raum, insbesondere jeder
topologische Vektorraum.